2022 年 12月随笔档案 - S!no

摘要：状态压缩DP 蒙德里安的梦想问题描述求把

N \times M

$N×M$ 的棋盘分割成若干个

1 \times 2

$1×2$ 的长方形，有多少种方案。例如当

N = 2 ， M = 4

$N=2，M=4$ 时，共有

5

$5$ 种方案。当

N = 2 ， M = 3

$N=2，M=3$ 时，共有

3

$3$ 种方案。如下图所示：输入格式输入包含多组测试用例。每组测试用例占一行，包含两个整阅读全文

posted @ 2022-12-18 09:48 S!no 阅读(34) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（47）——数位统计DP

摘要：数位统计 DP 数位统计DP是与数字相关的一类计数问题。在这类题目中，一般给定一些限制条件，求满足限制条件的第

K

$K$ 小的数是多少，或者求在区间

[L, R]

$[L,R]$ 内有多少个满足限制条件的数。解决方法为先利用动态规划进行预处理，再基于拼凑思想，用“试填法”求出最终的答案。题目链接:AcWing 3 阅读全文

posted @ 2022-12-18 09:47 S!no 阅读(114) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（46）——计数类DP

摘要：计数类 DP 题目链接:AcWing 900. 整数划分问题描述一个正整数

n

$n$ 可以表示成若干个正整数之和，形如：

n = n_{1} + n_{2} + \dots + n_{k}

$n=n_1+n_2+\dots+n_k$ ，其中

n_{1} \geq n_{2} \geq \dots \geq n_{k}, k \geq 1

$n_1 \ge n_2 \ge \dots \ge n_k,k \ge 1$ 。我们将这样的一种表示称为正整数

n

$n$ 的一种阅读全文

posted @ 2022-12-14 10:06 S!no 阅读(25) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（45）——区间DP

摘要：区间DP 到目前为止，我们介绍的线性 DP 一般从初态开始，沿着阶段的扩张向某个方问递推，直至计算出目标状态，区间 DP 也属于线性 DP 中的一种，它以“区间长度”作为 DP 的“阶段”，使用两个坐标（区间的左、右端点），描述每个维度。在区间 DP 中，一个状态由若干个比它更小且包含于它的区间所代阅读全文

posted @ 2022-12-11 11:18 S!no 阅读(64) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（44）——线性DP

摘要：线性DP 线性DP 数字三角形最长上升子序列(LIS)问题最长上升子序列(LIS)问题 II 最长公共子序列(LCS)问题最短编辑距离编辑距离具有线性“阶段”划分的动态规划算法被统称为线性DP。数字三角形题目链接:AcWing 898. 数字三角形问题描述给定一个共有

N

$N$ 行的阅读全文

posted @ 2022-12-11 11:18 S!no 阅读(44) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（42）——博弈论

摘要：博弈论博弈论 NIM 博弈台阶-Nim游戏公平组合游戏ICG 有向图游戏 Mex 运算 SG 函数有向图游戏的和定理集合-Nim游戏拆分-Nim游戏 NIM 博弈给定

n

$n$ 堆物品，第

i

$i$ 堆物品有

A_{i}

$A_i$ 个。两位玩家轮流操作，每次操作可以任选一堆，拿走任意数量的物品（可阅读全文

posted @ 2022-12-10 09:35 S!no 阅读(107) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（43）——背包问题

摘要：背包问题背包问题 0/1 背包问题完全背包多重背包二进制拆分法分组背包背包是线性 DP 中一类重要而特殊的模型，本文将其作为单独一部分进行总结整理。 0/1 背包问题 0/1 背包问题的模型如下：给定

N

$N$ 个物品，其中第

i

$i$ 个物品的体积为

V_{i}

$V_i$ ，价值为

W_{i}

$W_i$ 。阅读全文

posted @ 2022-12-10 09:35 S!no 阅读(43) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（41）——容斥原理

摘要：容斥原理设

S_{1}, S_{2}, \dots, S_{n}

$S_1,S_2,\cdots,S_n$ 为有限集合，

| S |

$|S|$ 表示集合

S

$S$ 的大小，则： $$ \vert \bigcup\limits_{i=1}^{n}S_i \vert = \sum\limits_{i=1}^{n} \vert S_i \vert - \sum\limi 阅读全文

posted @ 2022-12-10 09:34 S!no 阅读(129) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（40）——组合计数

摘要：组合计数组合计数求组合数 I —— 预处理组合数求组合数 II —— 预处理阶乘求组合数 III —— 卢卡斯定理（Lucas）求组合数 IV —— 高精度满足条件的01序列 —— 卡特兰数求组合数 I —— 预处理组合数给定

n

$n$ 组询问，每组询问给定两个整数

a

$a$ ，

b

$b$ ，请阅读全文

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算法学习笔记（39）——高斯消元

摘要：高斯消元高斯消元高斯消元解线性方程组高斯消元解异或线性方程组高斯消元解线性方程组通过初等行变换把增广矩阵化为阶梯型矩阵，并回代得到方程的解适用于求解包含

n

$n$ 个方程，

n

$n$ 个未知数的多元线性方程组前置知识：初等行（列）变换把某一行乘一个非00的数 (方程的两边同时乘上一个非0 阅读全文

posted @ 2022-12-10 09:34 S!no 阅读(65) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（38）——中国剩余定理

摘要：中国剩余定理设

m_{1}, m_{2}, \dots, m_{n}

$m_1, m_2,\cdots, m_n$ 是两两互质的整数，

m = \prod_{i = 1}^{n} m_{i}

$m = \prod_{i=1}^{n} m_i$ ，

M_{i} = m / m_{i}

$M_i = m / m_i$ （除了

m_{i}

$m_i$ 之外其他所有

m

$m$ 的乘积），

t_{i}

$t_i$ 是线性同余方程

M_{i} t_{i} = 1 (\mod m_{i})

$M_it_i = 1 \pmod {m_i}$ 的一阅读全文

posted @ 2022-12-10 09:34 S!no 阅读(111) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（37）——扩展欧几里得算法

摘要：扩展欧几里得算法扩展欧几里得算法欧几里得算法/辗转相除法（Euclidean algorithm）裴蜀定理（Bézout 定理）扩展欧几里得算法（Extended Euclidean algorithm）求解线性同余方程欧几里得算法/辗转相除法（Euclidean algorithm）阅读全文

posted @ 2022-12-10 09:34 S!no 阅读(101) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（36）——快速幂

摘要：快速幂快速幂快速幂快速幂求逆元快速幂用于快速（在

O (\log k)

$O(\log k)$ 的时间复杂度之内）求出

a^{k} mod p

$a^k \bmod p$ 的结果，

1 \leq a, p, k \leq 10^{9}

$1 \le a,p,k \le 10^9$ ，核心是反复平方法。算法思想：预处理出这些值： $a^{2^0} \bmod p,a^{2^1} \bmod 阅读全文

posted @ 2022-12-10 09:34 S!no 阅读(27) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（35）——欧拉函数

摘要：欧拉函数欧拉函数用公式求欧拉函数用筛法求欧拉函数欧拉函数：在数论中，对正整数

N

$N$ ，欧拉函数

φ (N)

$\varphi (N)$ 是小于等于

N

$N$ 的正整数中与

N

$N$ 互质的数的数目。若正整数

N

$N$ 被唯一分解为 $N = p_1^{c_1}p_2^{c_2} \dots p_m^{c_ 阅读全文

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算法学习笔记（34）——约数

摘要：约数约数约数的定义算数基本定理的推论正约数集合正约数个数正约数之和一、试除法求约数二、约数个数三、约数之和四、最大公约数欧几里得算法更相减损数约数的定义若整数

n

$n$ 除以整数

d

$d$ 的余数为

0

$0$ ，即

d

$d$ 能整除

n

$n$ ，则称

d

$d$ 是

n

$n$ 的约数，

n

$n$ 阅读全文

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算法学习笔记（33）——质数

摘要：质数质数一、试除法判定质数二、分解质因数三、筛质数 3.1 朴素筛法 3.2 埃氏筛法（Eratosthenes 筛法） 3.3 欧拉筛法（线性筛法）一、试除法判定质数质数的定义：若一个正整数无法被除了1和它自身之外的任何自然数整除，则称该数为质数（或素数），否则称该正整数为合数。整个阅读全文

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算法学习笔记（32）——匈牙利算法（二分图的最大匹配）

摘要：匈牙利算法给定一个二分图，如：匈牙利算法能够快速的计算出一种匹配方式，使得匹配的数量最多。注意，一个成功的匹配方式中，没有两条边是共用了同一个点的。形象的说，这个问题可以理解成二分图两边分别是男生和女生，有连线的表示可以凑成一对，匈牙利算法就是用来计算最多能够凑成多少对（不存在脚踏多条船的情况阅读全文

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算法学习笔记（31）——染色法判定二分图

摘要：染色法判定二分图如果一张无向图的

N

$N$ 个节点(

N \geq 2

$N \geq 2$ )可以分成

A, B

$A,B$ 两个非空集合，其中

A \cap B = \emptyset

$A \cap B = \emptyset$ ，并且在同一集合内的点之间都没有边相连，那么称这张无向图为一张二分图。

A, B

$A,B$ 分别称为二分图的左部和右部。定理：一张无向图是二分图，阅读全文

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算法学习笔记（30）——Kruskal算法（最小生成树）

摘要：Kruskal 算法首先，将所有边按照权重从小到大排序。这一步是Kruskal算法的性能瓶颈，时间复杂度为

O (m \log m)

$O(m \log m)$ 。不过由于排序的时间复杂度常数很小，所以Kruskal算法实际上是很快的。第二部从小到大枚举每条边

a \to b

$a \rightarrow b$ ，边权为

w

$w$ ，如果阅读全文

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算法学习笔记（29）——Prim算法（最小生成树）

摘要：Prim 算法 Prim算法用于求最小生成树问题，与Dijkstra算法非常相似。根据图的疏密程度，分为朴素Prim算法（稠密图，

O (n^{2})

$O(n^2)$ ）、堆优化Prim算法（稀疏图,

O (m \log n)

$O(m\log n)$ ）。但对于稀疏图，Kruskal算法更好写，思路更加清晰简单，所以一般不使用堆优化Prim。本文我阅读全文

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算法学习笔记（28）——Floyd算法（多源汇最短路）

摘要：Floyd 算法 Floyd 算法用于多源汇最短路问题。时间复杂度为

O (n^{3})

$O(n^3)$ 。算法思想：首先用邻接矩阵里的d[i][j]存储所有的边（重边的时候取min），然后就是三重循环，思路也是如果从i到k，再从k到j，这个距离(d[i][k] + d[k][j])能比d[i][j]小，就更新一阅读全文

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算法学习笔记（27）——SPFA算法（单源最短路）

摘要：SPFA 算法 SPFA 算法 SPFA 求最短路 SPFA 判断负环 SPFA算法实际上是对Bellman-Ford算法的队列优化，也是用于在存在负权边的图上，求单源点最短路，一般情况下时间复杂度可以看作

O (m)

$O(m)$ ，最坏情况下时间复杂度是

O (n m)

$O(nm)$ 。虽然SPFA算法是对Bellma 阅读全文

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算法学习笔记（26）——Bellman-Ford算法（单源最短路）

摘要：Bellman-Ford 算法 Bellman-Ford算法用于在包含负权边的图上，求单源点最短路的问题，时间复杂度

O (n m)

$O(nm)$ 。但是因为该算法的改进版SPFA，在求单源点最短路的问题上几乎总是优于Bellman-Ford算法，所以Bellman-Ford算法一般只应用在对边的数量有限制的最短阅读全文

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算法学习笔记（25）——Dijikstra算法（单源最短路）

摘要：Dijkstra 算法 Dijkstra算法用于在所有边权都非负的图上，求单源点最短路。设

n

$n$ 是图上结点的数量，

m

$m$ 是边的数量。朴素Dijkstra算法的时间复杂度是

O (n^{2})

$O(n^2)$ ，适合稠密图（点少边多）；堆优化版的Dijkstra算法的时间复杂度是

O (m \log n)

$O(m\log n)$ 阅读全文

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算法学习笔记（24）——拓扑排序

摘要：拓扑排序计算拓扑序列的一个方式是，用BFS来尝试访问所有的节点，但是有一个约束就是只有入度为0的节点才能被加入到扩展队列里。每次从队列里取出一个节点，也就同时在图中将这个节点拆除，所以它的所有后继的节点都减少1，如果已经减少到0，那么就可以加入到队列中。在上面的例子中，一开始只有a的入度是0，所阅读全文

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算法学习笔记（23）——树与图的DFS与BFS

摘要：树与图的DFS与BFS 树与图的DFS与BFS DFS BFS 首先，树是一种特殊结构的图，所以树与图的存储是相同的，而图又分为有向图与无向图，对无向图我们可以在两个点之间添加两条边。有向图的存储方式主要有两种稀疏图（点多边少）一般用邻接表存储稠密图（点少边多）一般用邻接矩阵存储。在邻接表的阅读全文

posted @ 2022-12-09 22:07 S!no 阅读(89) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（22）——宽度优先搜索BFS

摘要：宽度优先搜索 BFS 宽度优先搜索 BFS 走迷宫八数码宽度优先搜索每次扩展当前结点的所有相邻结点，所以需要一个队列来维护要扩展的结点。由于宽度优先搜索每次都是把所有能到的下一步搜完，所以能够得到最短路径的解，所以一些不带权求最短路径的问题也可以直接用BFS解决。注意，在扩展结点的某个下一结点阅读全文

posted @ 2022-12-09 22:07 S!no 阅读(262) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（21）——深度优先搜索DFS

摘要：深度优先搜索DFS 深度优先搜索DFS 排列数字 n-皇后问题按位搜索按行搜索深度优先搜索的思想简单来说就是“一条道走到黑”，也被称为“暴力搜索”，常用于解决需要给出所有方案的问题，因为它的搜索顺序就是能够得到一个完整的搜索路径（方案）后回溯再去搜索其它的方案。排列数字题目链接：AcWin 阅读全文

posted @ 2022-12-09 22:07 S!no 阅读(20) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（20）——哈希表（Hash）

摘要：哈希表（Hash）哈希表（Hash）拉链法（开散列）开放寻址法字符串哈希 Hash 表又称为散列表，一般由 Hash 函数（散列函数）与链表结构共同实现。与离散化思想类似，当我们要对若干复杂信息进行统计时，可以用 Hash 函致把这些复杂信息映射到一个容易维护的值城内。因为值域变简单、范围变阅读全文

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算法学习笔记（19）——堆（heap）

摘要：堆堆是一种数据结构，主要包含以下操作：插入一个数：将该数插到最后的位置，进行一次up操作求集合中的最小值：输出堆顶元素删除任意一个元素：将要删除的元素与末尾元素交换，然后进行一次up和down操作修改任意一个元素：将某位置的元素修改，然后进行一次up和down操作删除最小值：交换堆顶元素阅读全文

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算法学习笔记（18）——并查集（Disjoint-Set）

摘要：并查集（Disjoint-Set）并查集（Disjoint-Set）是一种可以动态维护若干个不重叠的集合，并支持合并与查询的数据结构。详细地说，并查集包括如下两个基本操作： Get，查询一个元素属于哪个集合。 Merge，把两个集合合并成一个大集合。为了具体实现并查集这种数据结构，我们首先需要定阅读全文

posted @ 2022-12-09 22:07 S!no 阅读(178) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（17）——Trie

摘要：Trie Trie（字典树）是一种用于实现字符串快速检索的多叉树结构。Trie 的每个节点都拥有若干个字符指针，若在插入或检索字符串时扫描到一个字符 c ，就沿着当前节点的 c 字符指针，走向该指针指向的节点。下面详细讨论 Trie 的基本操作过程：初始化：一棵空 Trie 仅包含一个根结点，该点阅读全文

posted @ 2022-12-09 22:07 S!no 阅读(26) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（16）——KMP

摘要：KMP KMP 算法，又称模式匹配算法，能够在线性时间内判定字符串

P [1 \sim N]

$P[1 \sim N]$ 是否为字符串

S [1 \sim M]

$S[1 \sim M]$ 的子串。并求出字符串

P

$P$ 在字符串

S

$S$ 中各次出现的位置。首先，一个

O (N M)

$O(NM)$ 的朴素做法是，尝试枚举字符串

S

$S$ 中的每个位置

i

$i$ ，把字符阅读全文

posted @ 2022-12-09 22:06 S!no 阅读(37) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（15）——单调队列

摘要：单调队列单调队列算法很多时候用手写的模拟队列比较方便，因为很多时候需要双口出队的队列，主要是在队尾也有删除元素的需求。而模拟队列都是游标移动来限定队列中的所有元素，所以用模拟队列很自然的可以做到双端队列的操作。单调队列一个经典应用就是求滑动窗口里的最大（或者最小）值。算法步骤：把该滑出的滑出阅读全文

posted @ 2022-12-09 22:06 S!no 阅读(47) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（14）——单调栈

摘要：单调栈题目链接:AcWing 830. 单调栈时间复杂度：

O (N)

$O(N)$ #include <iostream> using namespace std; const int N = 1e5 + 10; int n; int stk[N], tt; // 数组模拟栈，栈顶指针默认为0（空） int 阅读全文

posted @ 2022-12-09 22:06 S!no 阅读(21) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（13）——队列

摘要：队列数组模拟队列题目链接:AcWing 829. 模拟队列 #include <iostream> using namespace std; const int N = 100010; int n; int q[N]; int hh = 0, tt = -1; void push(int x) 阅读全文

posted @ 2022-12-09 22:06 S!no 阅读(22) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（12）——栈

摘要：栈数组模拟栈题目链接:AcWing 828. 模拟栈 #include <iostream> using namespace std; const int N = 100010; int n; int stk[N], tt; void push(int x) { stk[++ tt] = x; 阅读全文

posted @ 2022-12-09 22:06 S!no 阅读(20) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（11）——双链表

摘要：双链表题目链接:AcWing 827. 双链表 #include <iostream> using namespace std; const int N = 100010; int e[N], l[N], r[N], idx; void init() { // 头节点为0，尾节点为1，插入的节点标阅读全文

posted @ 2022-12-09 22:05 S!no 阅读(11) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（10）——单链表

摘要：单链表题目链接:AcWing 826. 单链表 #include <iostream> using namespace std; const int N = 100010; int n; int e[N], ne[N], head, idx; void init() { idx = 0; head 阅读全文

posted @ 2022-12-09 22:05 S!no 阅读(12) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（9）——区间合并

摘要：区间合并区间合并问题也是一个贪心问题，由于比较常用所以单独拿出来。区间合并的解决方法是，把所有区间按照左端点

l

$l$ 从小到大排序，然后维护一个当前正在处理的区间

[s t, e d]

$[st,ed]$ ，如果遍历到区间和维护的区间有交集，就合并（能合则合），没有交集的时候，当前维护的区间就变成这个遍历到的区间。这里阅读全文

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算法学习笔记（8）——离散化

摘要：离散化离散化是一种辅助解决问题的操作，当问题中涉及的数据范围非常大，但是实际使用到的数据是比较少的。并且问题的求解是和它范围里的其它数据有关系的，那么可以将这些可能使用到的数据放到一起，排序去重，就将它们映射到了一个新的较小的范围里。例如，下面几个数是在

(- \infty, \infty)

$(-\infty, \infty)$ 阅读全文

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算法学习笔记（7）——位操作

摘要：位操作 lowbit原理根据计算机负数表示的特点，如一个数字原码是10001000，他的负数表示形式是补码，也就是反码+1，反码是01110111，加一则是01111000，二者按位与得到了1000，就是我们想要的lowbit操作题目链接:AcWing 801. 二进制中1的个数 #includ 阅读全文

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算法学习笔记（6）——双指针算法

摘要：双指针算法双指针算法的核心思想就是在序列上找到这样一个性质，序列上的一个指针

j

$j$ 随着另一个指针

i

$i$ 的移动，是单向移动的，不会发生回退，这样就能在移动指针

i

$i$ 的时候去移动指针

j

$j$ 。由于两个指针都最多只会把序列遍历一遍，所以时间复杂度往往是从

O (n^{2})

$O(n^2)$ 优化到 $O(n) 阅读全文

posted @ 2022-12-09 22:05 S!no 阅读(46) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（5）——前缀和与差分

摘要：前缀和与差分前缀和与差分一维前缀和差分一维前缀和前缀和可以用于快速计算一个序列的区间和，也有很多问题里不是直接用前缀和，但是借用了前缀和的思想。用

s [i]

$s[i]$ 表示

a [0] + a [1] + \dots + a [i]

$a[0]+a[1]+\dots+a[i]$ 的和（所以称为前缀和），那么要计算区间

[l, r]

$[l, r]$ 的和，也就是计算阅读全文

posted @ 2022-12-09 22:04 S!no 阅读(40) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（4）——高精度

摘要：高精度高精度高精度加法高精度减法高精度乘法高精度除法高精度加法题目链接:AcWing 791. 高精度加法题目描述给定两个正整数（不含前导 0），计算它们的和。输入格式共两行，每行包含一个整数。输出格式共一行，包含所求的和。数据范围

1 \leq

$1 \le$ 整数长度 $\le 1 阅读全文

posted @ 2022-12-09 22:04 S!no 阅读(74) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（3）——二分

摘要：二分二分法用于解决这样一类问题：一个区间能分成左右两部分，左半部分满足性质

A

$A$ ，右半部分不满足性质

A

$A$ 。问题的目标是求解这两部分的分界点。所以二分法和区间里有没有单调性其实没什么关系，但是很多问题里是从单调性导出了上面的性质，上面的性质才是一个问题能用二分法求解的最本质的性质。二分法每阅读全文

posted @ 2022-12-09 22:00 S!no 阅读(68) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（2）——归并排序

摘要：归并排序归并排序的思想是基于分治法，其思路是：将待排序区间平分成左右两半，左右两侧分别递归地做归并排序。将这两个有序的区间合并（每次落一个较小的下来），就将这个区间排好序了。归并排序相比快速排序，几乎没有什么难理解的边界问题。要注意代码中的q[i] <= q[j]时从左半边落下元素，如果改成阅读全文

posted @ 2022-12-09 21:49 S!no 阅读(53) 评论(0) 推荐(0) 编辑

算法学习笔记（1）——快速排序

摘要：快速排序算法思想快排的思想是基于分治法，其思路是：确定分界点：给定要排序的数组q，先在数组中找一个数作为分界点值x，分界点可以取左边界值x = q[l]，可以取右边界值x = q[r]，可以取数组中间的数x = q[l + r >> 1]，也可以随机取一个。调整区间：将数组划分成两个区间，使阅读全文

posted @ 2022-12-09 21:33 S!no 阅读(170) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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