算法学习笔记（49）——树形DP

树形DP

题目链接:AcWing 285. 没有上司的舞会

题目描述

Ural 大学有 \(N\) 名职员，编号为 \(1∼N\)。

他们的关系就像一棵以校长为根的树，父节点就是子节点的直接上司。

每个职员有一个快乐指数，用整数 \(H_i\) 给出，其中 \(1 \le i \le N\)。

现在要召开一场周年庆宴会，不过，没有职员愿意和直接上司一起参会。

在满足这个条件的前提下，主办方希望邀请一部分职员参会，使得所有参会职员的快乐指数总和最大，求这个最大值。

输入格式

第一行一个整数 \(N\)。

接下来 \(N\) 行，第 \(i\) 行表示 \(i\) 号职员的快乐指数 \(H_i\)。

接下来 \(N−1\) 行，每行输入一对整数 \(L,K\)，表示 \(K\) 是 \(L\) 的直接上司。

输出格式

输出最大的快乐指数。

数据范围

\(1 \le N \le 6000\),

\(−128 \le H_i \le 127\)

输入样例：

7
1
1
1
1
1
1
1
1 3
2 3
6 4
7 4
4 5
3 5

输出样例：

5

状态表示：

f[u,0]表示所有从以u为根的子树中选择，并且不选择u这个点的方案
f[u,1]表示所有从以u为根的子树中选择，并且选择u这个点的方案

状态转移：（\(s\)表示\(u\)的孩子节点）

\[\begin{align*} &f[u, 0] = \sum_{s \in Son(u)} \max(f[s,0], f[s,1]) \\ &f[u, 1] = H[u] + \sum_{s \in Son(x)} f[s, 0] \end{align*} \]

时间复杂度：\(O(n)\)

递归遍历了共 \(n-1\) 条边（每个员工有一个上司，处于根节点的上司没有上司）

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 6010;

int n;
int happy[N];
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int f[N][2];
bool has_father[N];

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

void dfs(int u)
{
    f[u][1] = happy[u];
    
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        dfs(j);
        
        f[u][0] += max(f[j][0], f[j][1]);
        f[u][1] += f[j][0];
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> happy[i];
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 0; i < n - 1; i ++ ) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        has_father[a] = true;
        add(b, a);
    }
    
    int root = 1;
    while (has_father[root]) root ++;
    
    dfs(root);
    
    cout << max(f[root][0], f[root][1]) << endl;
    
    return 0;
}