算法学习笔记（47）——数位统计DP

数位统计 DP

数位统计DP是与数字相关的一类计数问题。在这类题目中，一般给定一些限制条件，求满足限制条件的第 $K$ 小的数是多少，或者求在区间 $[L,R]$ 内有多少个满足限制条件的数。解决方法为先利用动态规划进行预处理，再基于拼凑思想，用“试填法”求出最终的答案。

题目链接:AcWing 338. 计数问题

问题描述

给定两个整数 $a$ 和 $b$ ，求 $a$ 和 $b$ 之间的所有数字中 $0∼9$ 的出现次数。

例如， $a=1024，b=1032$ ，则 $a$ 和 $b$ 之间共有 $9$ 个数如下：

1024 1025 1026 1027 1028 1029 1030 1031 1032

其中 $0$ 出现 $10$ 次， $1$ 出现 $10$ 次， $2$ 出现 $7$ 次， $3$ 出现 $3$ 次等等…

输入格式

输入包含多组测试数据。

每组测试数据占一行，包含两个整数 $a$ 和 $b$ 。

当读入一行为 0 0 时，表示输入终止，且该行不作处理。

输出格式

每组数据输出一个结果，每个结果占一行。

每个结果包含十个用空格隔开的数字，第一个数字表示 $0$ 出现的次数，第二个数字表示 $1$ 出现的次数，以此类推。

数据范围

$0 \le a,b \le 100000000$

输入样例：

输出样例：

1 2 1 1 1 1 1 1 1 1
85 185 185 185 190 96 96 96 95 93
40 40 40 93 136 82 40 40 40 40
115 666 215 215 214 205 205 154 105 106
16 113 19 20 114 20 20 19 19 16
107 105 100 101 101 197 200 200 200 200
413 1133 503 503 503 502 502 417 402 412
196 512 186 104 87 93 97 97 142 196
398 1375 398 398 405 499 499 495 488 471
294 1256 296 296 296 296 287 286 286 247

题目要求出[a,b]中数字0~9的出现次数，考虑实现一个count(n,x)函数，求出1~n中x的出现次数。借鉴前缀和的思想，利用count(b,x)-count(a-1,x)求出a~b中x出现的总次数。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

// 求出数n共有多少位
int get(int n) 
{
    int res = 0;
    while (n) res ++, n /= 10;
    return res;
}

// 求出数x在0~n中出现的次数
int count(int n, int x)
{
    // res存储结果，dgt表示数n共有多少位
    int res = 0, dgt = get(n);
    
    // 循环每一位，累加数x在每一位上出现的次数
    for ( int i = 1; i <= dgt; i ++ ) {
        // p代表当前枚举到的位的位权
        // 从右（低位）到左（高位），第一位为1，第二位为10，第三位为100，以此类推...
        int p = pow(10, dgt - i);
        // l代表当前枚举到的位左边的数
        int l = n / p / 10;
        // r代表当前枚举到的位右边的数
        int r = n % p;
        // dj代表当前枚举到的位上的数
        int dj = n / p % 10;
        
        /*
         * 首先处理当前位左边的数在[0,l-1]的情况，此时无论右边取什么值，总值均小于n
         * 如果当前位不等于0 (x != 0)，则左边的取值范围是[0,l-1]，右边取值范围为[0,9...9]
         * 如果当前为等于0， 则左边不能有前导零，取值范围[1,l-1]，右边取值范围为[0,9...9]
         */
         if ( x != 0 ) res += l * p;
         else res += (l - 1) * p;
         
         /*
          * 再处理当前位左边的数等于 l 的情况，分3种情况讨论：
          * 1. 数x大于数n中当前位的值 x > dj : 此时无论右边取何值，整体都大于n，非法
          * 2. 数x等于数n中当前位的值 x = dj : 此时当前位及左边与n相同，右边取值范围[0,r]
          * 3. 数x小于数n中当前位的值 x < dj : 此时无论右边取何值，整体都小于n，于是右边取值范围为[0,9...9]
          */
        //   if ( x > dj )  res += 0;
          if ( x == dj ) res += r + 1;
          if ( x < dj )  res += p;
          
          /*
           * 左边的数大于l时，总体一定大于n，非法，不作讨论
           */
    }
    return res;
}

int main()
{
    int a, b;
    while ( cin >> a >> b, a || b ) {
        if ( a > b ) swap(a, b);
        for ( int i = 0; i <= 9; i ++ )
            // 此处利用类似前缀和的思想
            // a~b中数i出现的次数，等价于0~b中数i出现的次数减去0~a-1中数i出现的次数
            cout << count(b, i) - count(a - 1, i) << ' ';
        puts("");
    }
    return 0;
}