算法学习笔记（46）——计数类DP

计数类 DP

题目链接:AcWing 900. 整数划分

问题描述

一个正整数 $n$ 可以表示成若干个正整数之和，形如：$n=n_1+n_2+\dots+n_k$，其中 $n_1 \ge n_2 \ge \dots \ge n_k,k \ge 1$。
我们将这样的一种表示称为正整数 $n$ 的一种划分。
现在给定一个正整数 $n$，请你求出 $n$ 共有多少种不同的划分方法。

输入格式

共一行，包含一个整数 $n$。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示总划分数量。

由于答案可能很大，输出结果请对 $10^9+7$ 取模。

数据范围

$1 \le n \le 1000$

输入样例：

5

输出样例：

7

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算法1（完全背包）

可将本题完全背包问题，容量是 $N$ 的背包，共有$N$ 件物品，每件物品的体积分别是 $1 \sim N$，每种物品有无限个，求恰好装满背包的方案数。

状态表示

$F[i,j]$ 表示从第 $1 \sim i$ 件物品中选，恰好装满 $j$ 体积的方案数。

阶段划分

最后一件物品的个数。

• 选 $0$ 件第 $i$ 个物品，$F[i-1,j]$
• 选 $1$ 件第 $i$ 个物品，$F[i-1,j-i]$
• 选 $2$ 件第 $i$ 个物品，$F[i-1,j-2i]$
• ......(以此类推)
• 选 $k$ 件第 $i$ 个物品，$F[i-1,j-ki],ki \le j, (k+1)i > j$

转移方程

$$\begin{aligned} &F[i,j] = F[i-1,j] + &F[i-1,j-i] + F[i-1,j-2i] + \dots + F[i-1,j-ki] \\ &F[i,j-i] = &F[i-1][j-i] + F[i-1,j-2i] + \dots + F[i-1,j-ki] \end{aligned} \\ $$

利用完全背包的优化思路，将第二个方程代入第一个方程，得到：

$$F[i,j] = F[i-1,j] + F[i,j-i]$$

边界

容量为0时，前 i 个物品全不选也是一种方案

$$F[i,0] = 1, \text{其余为0}$$

目标

$$F[N][N]$$

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;

int n;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n;
    
    // 容量为0时，前 i 个物品全不选也是一种方案
    for (int i = 0; i <= n; i ++ ) f[i][0] = 1;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= n; j ++ ) {
            f[i][j] = f[i - 1][j] % mod;
            if (j >= i) f[i][j] = (f[i - 1][j] + f[i][j - i]) % mod;
        }
            
    cout << f[n][n] << endl;
    
    return 0;
}

维数优化：

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;

int n;
int f[N];

int main()
{
    cin >> n;
    
    f[0] = 1;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = i; j <= n; j ++ )
            f[j] = (f[j] + f[j - i]) % mod;
            
    cout << f[n] << endl;
    
    return 0;
}

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算法2

方案中最小值是 $1$ 时的方案数，与去掉一个 $1$ 的方案数 $F[i-1,j-1]$ 相同。
方案中最小值大于 $1$ 时的方案数，与对每一个数减 $1$ （共有 $j$ 个数，所以总和减 $j$）的方案数 $F[i-j,j]$ 相同。

转移方程

$$F[i,j] = F[i-1,j-1] + F[i-j,j]$$

边界

$$F[0,0] = 1$$

目标

$$F[n,1] + F[n,2] + \dots + F[n,n]$$

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;

int n;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n;
    
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        // 总和是i得数最多表示成i个数的和（均为1）
        for (int j = 1; j <= i; j ++ )
            f[i][j] = (f[i - 1][j - 1] + f[i - j][j]) % mod;
         
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res = (res + f[n][i]) % mod;
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}