算法学习笔记(42)——博弈论

博弈论

NIM 博弈

给定 n 堆物品,第 i 堆物品有 Ai 个。两位玩家轮流操作,每次操作可以任选一堆,拿走任意数量的物品(可以拿完,但不能不拿),最后无法进行操作的人视为失败,取走最后一件物品者获胜。
问如果两人都采用最优策略,先手是否必胜。

我们把这种游戏称为 NIM 博弈。把游戏过程中面临的状态称为局面。整局游戏第一个行动的称为先手,第二个行动的称为后手。若在某一局面下无论采取何种行动,都会输掉游戏,则称该局面必败。所谓采取最优策略是指,若在某一局面下存在某种行动,使得行动后对手面临必败局面,则优先采取该行动。同时,这样的局面被称为必胜。我们讨论的博弈问题一般都只考虑理想情况,即两人均无失误,都采取最优策略行动时游戏的结果。NIM 博弈不存在平局,只有先手必胜先手必败两种情况。

定理
NIM博弈先手必胜,当且仅当 A1A2An0

证明
所有物品都被取光是一个必收局面(对手取走最后一件物品,已经获得胜利),此时显然有 A1A2An=0

对于任意一个局面,如果 A1A2An=x0 ,设 x 的二进制表示下最高位的 1 在第 k 位,那么至少存在一堆石子 Ai ,它的第 k 位是 1 。显然 Aix<AixAi 的最高位都是 1 ,异或变为 0 ),我们就从 Ai 堆中取走若干石子,使其变为 Aix , 就得到了一个各堆石子数异或起来等于 0 的局面。

对于任意一个局面,如果 A1A2An=0 ,那么无论如何取石子,得到的局面下各堆石子异或起来都不等于 0 。可用反证法证明,假设 Ai 被取成了 Ai,并且 A1A2AiAn=0 。由异或运算的消去律得 Ai=Ai, 与 "不能不取石子" 的规则矛盾。

综上所述,再由数学归纳法可知,A1A2An0 为必胜局面,一定存在一种行动让对手面临 "各堆石子异或起来等于 0 "。A1A2An=0 为必败局面,无论如何行动,都会让对手面临一个 "各堆石子异或起来不等于 0 " 的必胜局面。

证毕。

题目链接:AcWing 891. Nim游戏

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    int res = 0;
    while (n -- ) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        res ^= x;
    }
    
    if (res) puts("Yes");
    else puts("No");
    
    return 0;
}

台阶-Nim游戏

定理
台阶NIM博弈先手必胜,当且仅当奇数项 A1A3A2n10

证明
先手时,如果奇数台阶异或非0,根据经典Nim游戏,先手总有一种方式使奇数台阶异或为0,于是先手留了奇数台阶异或为0的状态给后手
于是轮到后手:

  1. 当后手移动偶数台阶上的石子时,先手只需将对手移动的石子继续移到下一个台阶,这样奇数台阶的石子相当于没变,于是留给后手的又是奇数台阶异或为0的状态
  2. 当后手移动奇数台阶上的石子时,留给先手的奇数台阶异或非0,根据经典Nim游戏,先手总能找出一种方案使奇数台阶异或为0
    因此无论后手如何移动,先手总能通过操作把奇数异或为0的情况留给后手,当奇数台阶全为0时,只留下偶数台阶上有石子。
    (核心就是:先手总是把奇数台阶异或为0的状态留给对面,即总是将必败态交给对面)

因为偶数台阶上的石子要想移动到地面,必然需要经过偶数次移动,又因为奇数台阶全0的情况是留给后手的,因此先手总是可以将石子移动到地面,当将最后一个(堆)石子移动到地面时,后手无法操作,即后手失败。

因此如果先手时奇数台阶上的值的异或值为非0,则先手必胜,反之必败!

题目链接:AcWing 892. 台阶-Nim游戏

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    int res = 0;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
        int a;
        scanf("%d", &a);
        if (i % 2) res ^= a;
    }
    
    if (res) puts("Yes");
    else puts("No");
    
    return 0;
}

公平组合游戏ICG

若一个游戏满足:

  1. 由两名玩家交替行动:
  2. 在游戏进程的任意时刻,可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关:
  3. 不能行动的玩家判负。

则称该游戏为一个公平组合游戏。

NIM博弈属于公平组合游戏,但常见的棋类游戏,比如国棋,就不是公平组合游戏。因为围棋交战双方分别只能落黑子和白子,胜负判定也比较复杂,不满足条件2和
条件3。

有向图游戏

给定一个有向无环图,图中有一个唯一的起点,在起点上放有一枚棋子。两名玩家交替地把这枚棋子沿有向边进行移动,每次可以移动一步,无法移动者判负。该游戏被称为有向图游戏
任何一个公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。具体方法是,把每个局面看成图中的一个节点,并且从每个局面向沿着合法行动能够到达的下一个局面连有向边。

Mex 运算

S 表示一个非负整数集合。定义 mex(S) 为求出不属于集合 S 的最小非负整数的运算,即:

mex(s)=minxN,xS{x}

SG 函数

在有向图游戏中,对于每个节点 x ,设从 x 出发共有 k 条有向边,分别到达节点 y1y2,,yk ,定义 SG(x)x 的后继节点 y1y2,,ykSG 函数值构成的集合再执行 mex 运算的结果,即:

SG(x)=mex({SG(y1),SG(y2),,SG(yk)})

特别地,整个有向图游戏 GSG 函数值被定义为有向图游戏起点 sSG 函数值,即 SG(G)=SG(s)

有向图游戏的和

G1,G2,,Gmm 个有向图游戏。定义有向图游戏 G ,它的行动规则是任选某个有向图游戏 Gi ,并在 Gi 上行动一步。G 被称为有向图游戏 C1,G2,,Gm 的和。
有向图游戏的和的 SG 两数值等于它包含的各个子游戏 SG 函数值的异或和,即:

SG(G)=SG(G1)SG(G2)SG(Gm)

定理

  • 有向图游戏的某个局面必胜,当且仅当该局面对应节点的 SG 函数值大于 0
  • 有向图游戏的某个局面必败,当且仅当该局面对应节点的 SG 两数值等于 0

我们不再详细证明该定理。可以这样理解:

  • 在一个没有出边的节点上,棋子不能移动,它的 SG 值为 0,对应必败局面。
  • 若一个节点的某个后继节点 SG 值为 0,在 mex 运算后,该节点的 SG 值大于 0 。这等价于,若一个局面的后继局面中存在必败局面,则当前局面为必胜局面
  • 若一个节点的后继节点 SG 值均不为 0,在 mex 运算后,该节点的 SG 值为 0。这等价于,若一个局面的后继局面全部为必胜局面,则当前局面为必败局面
  • 对于若千个有向图游戏的和,其证明方法与 NIM 博弈类似。

集合-Nim游戏

题目链接:AcWing 893. 集合-Nim游戏

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <unordered_set>

using namespace std;

const int N = 110, M = 10010;

int n, k;
int s[N];   // 石子个数
int f[M];   // SG函数的值

int sg(int x)
{
    // 记忆化搜索,如果某个状态被算过,不重复计算,直接返回
    // 保证时间复杂不是指数级别,每个状态只会被计算一次
    if (f[x] != -1) return f[x];
    
    // 用哈希表存储当前局面可以到的局面
    unordered_set<int> S;
    
    // 枚举每个可操作的数
    for (int i = 0; i < k; i ++ ) {
        int sum = s[i];
        // 如果能够操作,就将下一局面加入哈希表
        if (x >= sum) S.insert(sg(x - sum));
    }
    
    // mex操作:求出不属于集合 S 的最小非负整数
    for (int i = 0; ; i ++ )
        if (!S.count(i))
            return f[x] = i;
}

int main()
{
    cin >> k;
    for (int i = 0; i < k; i ++ ) cin >> s[i];
    cin >> n;
    
    memset(f, -1, sizeof f);
    
    int res = 0;
    // 分别求每一堆的石子SG函数值,并计算各个子游戏函数值的异或和
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
        int x;
        cin >> x;
        res ^= sg(x);
    }
    
    if (res) puts("Yes");
    else puts("No");
    
    return 0;
}

拆分-Nim游戏

题目链接:AcWing 894. 拆分-Nim游戏

相比于集合-Nim游戏,这里的每一堆可以变成小于原来那堆的任意大小的两堆
a[i]可以拆分成(b[i],b[j]),为了避免重复,规定b[i]>=b[j],即:a[i]>b[i]>=b[j]

相当于一个局面拆分成了两个局面,由SG函数理论,多个独立局面的SG
值,等于这些局面SG值的异或和。因此需要存储的状态就是sg(b[i]) ^sg(b[j])(与集合-Nim的唯一区别)

PS:因为这题中原堆拆分成的两个较小堆小于原堆即可,因此任意一个较小堆的拆分情况会被完全包含在较大堆中,因此S可以开全局。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <unordered_set>

using namespace std;

const int N = 110;

int n;
int f[N]; // 存储SG函数值

int sg(int x)
{
    if (f[x] != -1) return f[x];
    
    unordered_set<int> hash;
    for (int i = 0; i < x; i ++ )
        for (int j = 0; j <= i; j ++ )
            hash.insert(sg(i) ^ sg(j));
    
    // mex操作
    for (int i = 0; ; i ++ )
        if (!hash.count(i))
            return f[x] = i;
}

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    
    memset(f, -1, sizeof f);    // 记忆化搜索
    
    int res = 0;
    while (n -- ) {
        int a;
        scanf("%d", &a);
        res ^= sg(a);
    }
    
    if (res) puts("Yes");
    else puts("No");
    
    return 0;
}
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