算法学习笔记(42)——博弈论
博弈论
NIM 博弈
给定 堆物品,第 堆物品有 个。两位玩家轮流操作,每次操作可以任选一堆,拿走任意数量的物品(可以拿完,但不能不拿),最后无法进行操作的人视为失败,取走最后一件物品者获胜。
问如果两人都采用最优策略,先手是否必胜。
我们把这种游戏称为 NIM 博弈。把游戏过程中面临的状态称为局面。整局游戏第一个行动的称为先手,第二个行动的称为后手。若在某一局面下无论采取何种行动,都会输掉游戏,则称该局面必败。所谓采取最优策略是指,若在某一局面下存在某种行动,使得行动后对手面临必败局面,则优先采取该行动。同时,这样的局面被称为必胜。我们讨论的博弈问题一般都只考虑理想情况,即两人均无失误,都采取最优策略行动时游戏的结果。NIM 博弈不存在平局,只有先手必胜和先手必败两种情况。
定理
NIM博弈先手必胜,当且仅当 。
证明:
所有物品都被取光是一个必收局面(对手取走最后一件物品,已经获得胜利),此时显然有 。
对于任意一个局面,如果 ,设 的二进制表示下最高位的 在第 位,那么至少存在一堆石子 ,它的第 位是 。显然 ( 与 的最高位都是 ,异或变为 ),我们就从 堆中取走若干石子,使其变为 , 就得到了一个各堆石子数异或起来等于 的局面。
对于任意一个局面,如果 ,那么无论如何取石子,得到的局面下各堆石子异或起来都不等于 。可用反证法证明,假设 被取成了 ,并且 。由异或运算的消去律得 , 与 "不能不取石子" 的规则矛盾。
综上所述,再由数学归纳法可知, 为必胜局面,一定存在一种行动让对手面临 "各堆石子异或起来等于 "。 为必败局面,无论如何行动,都会让对手面临一个 "各堆石子异或起来不等于 " 的必胜局面。
证毕。
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
int res = 0;
while (n -- ) {
int x;
scanf("%d", &x);
res ^= x;
}
if (res) puts("Yes");
else puts("No");
return 0;
}
台阶-Nim游戏
定理
台阶NIM博弈先手必胜,当且仅当奇数项 。
证明:
先手时,如果奇数台阶异或非0,根据经典Nim游戏,先手总有一种方式使奇数台阶异或为0,于是先手留了奇数台阶异或为0的状态给后手
于是轮到后手:
- 当后手移动偶数台阶上的石子时,先手只需将对手移动的石子继续移到下一个台阶,这样奇数台阶的石子相当于没变,于是留给后手的又是奇数台阶异或为0的状态
- 当后手移动奇数台阶上的石子时,留给先手的奇数台阶异或非0,根据经典Nim游戏,先手总能找出一种方案使奇数台阶异或为0
因此无论后手如何移动,先手总能通过操作把奇数异或为0的情况留给后手,当奇数台阶全为0时,只留下偶数台阶上有石子。
(核心就是:先手总是把奇数台阶异或为0的状态留给对面,即总是将必败态交给对面)
因为偶数台阶上的石子要想移动到地面,必然需要经过偶数次移动,又因为奇数台阶全0的情况是留给后手的,因此先手总是可以将石子移动到地面,当将最后一个(堆)石子移动到地面时,后手无法操作,即后手失败。
因此如果先手时奇数台阶上的值的异或值为非0,则先手必胜,反之必败!
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n;
int res = 0;
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {
int a;
scanf("%d", &a);
if (i % 2) res ^= a;
}
if (res) puts("Yes");
else puts("No");
return 0;
}
公平组合游戏ICG
若一个游戏满足:
- 由两名玩家交替行动:
- 在游戏进程的任意时刻,可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关:
- 不能行动的玩家判负。
则称该游戏为一个公平组合游戏。
NIM博弈属于公平组合游戏,但常见的棋类游戏,比如国棋,就不是公平组合游戏。因为围棋交战双方分别只能落黑子和白子,胜负判定也比较复杂,不满足条件2和
条件3。
有向图游戏
给定一个有向无环图,图中有一个唯一的起点,在起点上放有一枚棋子。两名玩家交替地把这枚棋子沿有向边进行移动,每次可以移动一步,无法移动者判负。该游戏被称为有向图游戏。
任何一个公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。具体方法是,把每个局面看成图中的一个节点,并且从每个局面向沿着合法行动能够到达的下一个局面连有向边。
Mex 运算
设 表示一个非负整数集合。定义 为求出不属于集合 的最小非负整数的运算,即:
SG 函数
在有向图游戏中,对于每个节点 ,设从 出发共有 条有向边,分别到达节点 ,定义 为 的后继节点 的 函数值构成的集合再执行 运算的结果,即:
特别地,整个有向图游戏 的 函数值被定义为有向图游戏起点 的 函数值,即 。
有向图游戏的和
设 是 个有向图游戏。定义有向图游戏 ,它的行动规则是任选某个有向图游戏 ,并在 上行动一步。 被称为有向图游戏 的和。
有向图游戏的和的 两数值等于它包含的各个子游戏 函数值的异或和,即:
定理
- 有向图游戏的某个局面必胜,当且仅当该局面对应节点的 函数值大于 。
- 有向图游戏的某个局面必败,当且仅当该局面对应节点的 两数值等于 。
我们不再详细证明该定理。可以这样理解:
- 在一个没有出边的节点上,棋子不能移动,它的 值为 ,对应必败局面。
- 若一个节点的某个后继节点 值为 ,在 运算后,该节点的 值大于 。这等价于,若一个局面的后继局面中存在必败局面,则当前局面为必胜局面。
- 若一个节点的后继节点 值均不为 ,在 运算后,该节点的 值为 。这等价于,若一个局面的后继局面全部为必胜局面,则当前局面为必败局面。
- 对于若千个有向图游戏的和,其证明方法与 NIM 博弈类似。
集合-Nim游戏
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <unordered_set>
using namespace std;
const int N = 110, M = 10010;
int n, k;
int s[N]; // 石子个数
int f[M]; // SG函数的值
int sg(int x)
{
// 记忆化搜索,如果某个状态被算过,不重复计算,直接返回
// 保证时间复杂不是指数级别,每个状态只会被计算一次
if (f[x] != -1) return f[x];
// 用哈希表存储当前局面可以到的局面
unordered_set<int> S;
// 枚举每个可操作的数
for (int i = 0; i < k; i ++ ) {
int sum = s[i];
// 如果能够操作,就将下一局面加入哈希表
if (x >= sum) S.insert(sg(x - sum));
}
// mex操作:求出不属于集合 S 的最小非负整数
for (int i = 0; ; i ++ )
if (!S.count(i))
return f[x] = i;
}
int main()
{
cin >> k;
for (int i = 0; i < k; i ++ ) cin >> s[i];
cin >> n;
memset(f, -1, sizeof f);
int res = 0;
// 分别求每一堆的石子SG函数值,并计算各个子游戏函数值的异或和
for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
int x;
cin >> x;
res ^= sg(x);
}
if (res) puts("Yes");
else puts("No");
return 0;
}
拆分-Nim游戏
相比于集合-Nim游戏,这里的每一堆可以变成小于原来那堆的任意大小的两堆
即a[i]
可以拆分成(b[i],b[j])
,为了避免重复,规定b[i]>=b[j]
,即:a[i]>b[i]>=b[j]
相当于一个局面拆分成了两个局面,由SG函数理论,多个独立局面的SG
值,等于这些局面SG值的异或和。因此需要存储的状态就是sg(b[i]) ^sg(b[j])
(与集合-Nim的唯一区别)
PS:因为这题中原堆拆分成的两个较小堆小于原堆即可,因此任意一个较小堆的拆分情况会被完全包含在较大堆中,因此S
可以开全局。
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <unordered_set>
using namespace std;
const int N = 110;
int n;
int f[N]; // 存储SG函数值
int sg(int x)
{
if (f[x] != -1) return f[x];
unordered_set<int> hash;
for (int i = 0; i < x; i ++ )
for (int j = 0; j <= i; j ++ )
hash.insert(sg(i) ^ sg(j));
// mex操作
for (int i = 0; ; i ++ )
if (!hash.count(i))
return f[x] = i;
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
memset(f, -1, sizeof f); // 记忆化搜索
int res = 0;
while (n -- ) {
int a;
scanf("%d", &a);
res ^= sg(a);
}
if (res) puts("Yes");
else puts("No");
return 0;
}
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