算法学习笔记（38）——中国剩余定理

中国剩余定理

设 $m_1, m_2,\cdots, m_n$ 是两两互质的整数， $m = \prod_{i=1}^{n} m_i$ ， $M_i = m / m_i$ （除了 $m_i$ 之外其他所有 $m$ 的乘积）， $t_i$ 是线性同余方程 $M_it_i = 1 \pmod {m_i}$ 的一个解，即 $t_i$ 是 $M_i$ 模 $m_i$ 的乘法逆元。对于任意的 $n$ 个整数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ ，方程组

{\begin{cases} x \equiv a_{1} (\mod m_{1}) \\ x \equiv a_{2} (\mod m_{2}) \\ \dots \\ x \equiv a_{n} (\mod m_{n}) \end{cases}

$\begin{cases} x \equiv a_1 \pmod {m_1} \\ x \equiv a_2 \pmod {m_2} \\ \dots \\ x \equiv a_n \pmod {m_n} \end{cases}$

有整数解，解为 $x = \sum_{i=1}^{n} a_i M_i t_i$ 。

证明：
因为 $M_i = m / m_i$ 是除 $m_i$ 之外所有模数的倍数，所以 $\forall k \neq i, a_iM_it_i \equiv 0 \pmod {m_k}$ 。
又因为 $a_iM_it_i \equiv a_i \pmod {m_i}$ ，所以代入 $x = \sum_{i=1}^{n} a_iM_it_i$ ，原方程组成立。
证毕

中国剩余定理给出了模数两两互质的线性同余方程组的一个特解。方程组的通解可以表示为 $x+km(k\in \mathbb{Z})$ 。有些题目要求我们求出最小的非负整数解，只需把 $x$ 对 $m$ 取模，并让 $x$ 落在 $0$ ~ $m-1$ 的范围内即可。

另外，及时模数不满足两两互质，我们也有方法判断线性同余方程是否有解，并求出方程组的解。

题目链接：AcWing 204. 表达整数的奇怪方式

本题中 $m_i$ 不一定两两互质，中国剩余定理不再适用。可以考虑使用数学归纳法，假设已经求出了前 $k-1$ 个方程构成的方程组的一个解 $x$ 。记 $m = lcm(m_1,m_2, \cdots, m_k-1)$ ，则 $x+i*m(i \in \mathbb{Z})$ 是前 $k-1$ 个方程的通解。

以前两个方程举例说明：

x \equiv m_{1} (\mod a_{1}) x \equiv m_{2} (\mod a_{2})

$x \equiv m_1 \pmod {a_1} \\ x \equiv m_2 \pmod {a_2}$

则

x = k_{1} a_{1} + m_{1} x = k_{2} a_{2} + m_{2} k_{1} a_{1} + m 1 = k_{2} a_{2} + m_{2} k_{1} a_{1} - k_{2} a_{2} = m_{2} - m_{1}

$x = k_1a_1 + m_1 \\ x = k_2a_2 + m_2 \\ k_1a_1 + m1 = k_2a_2 + m_2 \\ k_1a_1 - k_2a_2 = m_2 - m_1$

于是问题转化为，在已知 $a_1, a_2, m_2-m_1$ 的前提下，求一组 $k_1, k_2$ 满足以上线性同余方程，而线性同余方程有解的充要条件是 $gcd(a_1,a_2) | m_2 - m_1$ 。
根据扩展欧几里得算法，我们可以先求出线性同余方程 $k_1'a_1 - k_2'a_2 = gcd(a_1, a_2)$ 的一组特解 $(k_1', k_2')$ ，再将方程两边同时乘以 $\frac{m_2-m_1}{gcd(k_1,k_2)}$ ，即可得到方程 $k_1a_1 - k_2a_2 = m_2 - m_1$ 的一组特解:

k_{1} = k_{1}^{'} \cdot \frac{m_{2} - m_{1}}{g c d (k_{1}, k_{2})} k_{2} = k_{2}^{'} \cdot \frac{m_{2} - m_{1}}{g c d (k_{1}, k_{2})}

$k_1 = k_1' \cdot \frac{m_2-m_1}{gcd(k_1,k_2)} \\ k_2 = k_2' \cdot \frac{m_2-m_1}{gcd(k_1,k_2)}$

该方程的通解可以表示为：

k_{1 T} = k_{1} + k \cdot \frac{a_{2}}{g c d (a_{1}, a_{2})} k_{2 T} = k_{2} - k \cdot \frac{a_{1}}{g c d (a_{1}, a_{2})}

$k_{1T} = k_1 + k \cdot \frac{a_2}{gcd(a_1,a_2)} \\ k_{2T} = k_2 - k \cdot \frac{a_1}{gcd(a_1,a_2)}$

记 $gcd(a_1,a_2) = d$ ，于是

x = k_{1 T} a_{1} + m_{1} = (k_{1} + k \cdot \frac{a_{2}}{d}) \cdot a_{1} + m_{1} = a_{1} k_{1} + m_{1} + k \cdot \frac{a_{1} a_{2}}{d} = a_{1} k_{1} + m_{1} + k \cdot l c m (a_{1} a_{2})

$x = k_{1T}a_1 + m_1 = (k_1 + k \cdot \frac{a_2}{d})\cdot a_1 + m_1 = a_1k_1 + m_1 + k \cdot \frac{a_1a_2}{d} = a_1k_1 + m_1 + k \cdot lcm(a_1a_2)$

记 $a_1k_1 + m_1 = m$ ， $lcm(a_1,a_2) = a$ ，则我们将方程组内前两个方程合为一个方程：

x = k \cdot a + m

$x = k \cdot a + m$

对后续方程递归进行上述操作，即可将方程组合并为一个方程，最后得出：

x \equiv m (\mod a)

$x \equiv m \pmod a$

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;

// 扩展欧几里得算法，返回a与b的最大公约数，同时求出ax+by=gcd(a,b)的解(x,y)
LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
    if (!b) { x = 1, y = 0; return a; }
    LL d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    
    bool has_answer = true; // 代表是否有解
    LL a1, m1; // 每次将一组新的方程合并入现有方程
    
    cin >> a1 >> m1; //读入第一个方程
    
    // 读入之后的n-1个方程
    for (int i = 0; i < n - 1; i ++ ) {
        LL a2, m2;
        cin >> a2 >> m2;
        
        LL k1, k2;
        LL d = exgcd(a1, a2, k1, k2);
        // 若不满足线性同余方程有解的充要条件 => gcd(a1,a2) | m2 - m1，则跳出循环，置为false
        if ((m2 - m1) % d) {
            has_answer = false;
            break;
        }
        
        // 转换特解为通解 k1a1 - k2a2 = gcd(a1,a2) => k1a1 - k2a2 = m2 - m1
        k1 *= (m2 - m1) / d;
        
        LL t = a2 / d;
        k1 = (k1 % t + t) % t;  // 在转换过程中求出最小的非负整数解，防止溢出
        
        // 更新合并后的a1 与 m1
        m1 = a1 * k1 + m1;
        a1 = abs(a1 / d * a2);
    }
    
    // C++ 取模可能得到负数，所以对取模的结果加m1再模m1，即可转为正数
    if (has_answer) cout << (m1 % a1 + a1) % a1 << endl;
    else puts("-1");
    
    return 0;
}