算法学习笔记（36）——快速幂

快速幂

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  • 快速幂求逆元

快速幂

用于快速（在 $O(\log k)$ 的时间复杂度之内）求出 $a^k \bmod p$ 的结果，$1 \le a,p,k \le 10^9$，核心是反复平方法。

算法思想：

1. 预处理出这些值： $a^{2^0} \bmod p,a^{2^1} \bmod p,a^{2^2} \bmod p,\cdots ,a^{2^{\log k}} \bmod p$（共 $\log k$ 个）
   $$\begin{aligned} a^{2^0} &= a\\ a^{2^1} &= (a^{2^0})^2\\ a^{2^2} &= (a^{2^1})^2\\ &\cdots\\ a^{2^{\log k}} &= (a^{2^{\log k - 1}})^2 \end{aligned}$$

2. 若要求得 $a^k$，则我们首先将 $a^k$ 拆分为预处理出的若干个值的乘积的形式，即：
   $$a^k = a^{2^{x_1}} \cdot a^{2^{x_2}} \cdots a^{2^{x_t}} = a^{2^{x_1} + 2^{x_2} + \cdots + 2^{x_t}}$$
   于是将问题转化为将 $k$ 拆分为 $2^0, 2^1, \cdots , 2^{\log k}$ 中若干个数的和，将 $k$ 化为二进制即可。
   $$\begin{aligned} & k = (110110)_2 \\ & k = 2^5 + 2^4 + 2^2 + 2^1 \end{aligned}$$

题目链接：AcWing 875. 快速幂

时间复杂度：$O(N\log k)$

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;

LL quick_mi(int a, int k, int p)
{
    LL res = 1;
    // k=0时跳出循环
    while (k) {
        // 如果k的个位是1，则将对应的预处理值算入乘积（a是动态变化的）
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
        // 当前个位处理结束，右移一位
        k >>= 1;
        // 更新a的值
        a = (LL)a * a % p;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    
    while (n -- ) {
        int a, k, p;
        scanf("%d%d%d",&a, &k, &p);
        printf("%d\n", quick_mi(a, k, p));
    }
    
    return 0;
}

快速幂求逆元

乘法逆元
若整数 $b, m$ 互质，并且 $b|a$ ，则存在一个整数 $x$ ，使得 $a/b \equiv a * x \pmod m$ 。称 $x$ 为 $b$ 的模 $m$ 乘法逆元，记为 $b^{-1}\pmod m$ 。
因为 $a/b \equiv a * b^{-1} \equiv a/b * b * b^{-1} \pmod m$ ，所以 $b * b^{-1} \equiv 1 \pmod m$ 。
如果 $m$ 是质数（此时用 $p$ 代替 $m$ ）并且 $b<p$ ，根据费马小定理， $b^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ ，即 $b * b^{p-2} \equiv 1 \pmod p$ 。因此，当模数 $p$ 为质数时， $b^{p-2}$ 即位 $b$ 的乘法逆元。
如果只是保证 $b,m$ 互质，那么乘法逆元可通过求解同余方程 $b*x \equiv 1 \pmod m$ 得到。
如果 $b$ 和 $m$ 不互质，即 $b$ 是 $m$ 的倍数时，$b*x \bmod m$ 一定为0，所以一定无解

题目链接：AcWing 876. 快速幂求逆元

#include <iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;

// 快速幂，返回 a^k % p
LL quick_mi(int a, int k, int p)
{
    LL res = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
        k >>= 1;
        a = (LL)a * a % p;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    
    while (n -- ) {
        int a, p;
        scanf("%d%d", &a, &p);
        // 当a时p的倍数时，a * x mod p一定为0，不可能等于1，所以无解
        if (a % p == 0) puts("impossible");
        // 当模数 p 为质数时，a^{p−2} 即为 a 的乘法逆元
        else printf("%d\n", quick_mi(a, p - 2, p));
    }
    
    return 0;
}