算法学习笔记(35)——欧拉函数
欧拉函数
欧拉函数:
在数论中,对正整数 ,欧拉函数 是小于等于 的正整数中与 互质的数的数目。
若正整数 被唯一分解为 ,其中 都是正整数, 都是质数,且满足 ,则:
欧拉函数公式的证明思路(容斥原理):
- 从 ~ 中去除 的所有倍数。 ~ 中 的倍数有 (整除)个
- 因为所有 的倍数被减了两次,所以加上所有 的倍数
- 同理,减去所有 的倍数
以此类推...
我们不难发现欧拉公式展开后便是上式
该算法的时间复杂度瓶颈主要在于分解质因数,之前的文章分析过分解质因数的时间复杂度为 ,因此,利用上述公式求欧拉函数的时间复杂度是
用公式求欧拉函数
题目链接:AcWing 873. 欧拉函数
本题 , ,则时间复杂度为 ,约在四百万到五百万之间,可以接受
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n;
cin >> n;
while (n -- ) {
int a;
cin >> a;
int res = a;
for (int i = 2; i <= a / i; i ++ )
if (a % i == 0) {
// 由于不能出现小数,所以转换公式 res = res * (1 - 1 / i)
res = res / i * (i - 1);
while (a % i == 0) a /= i;
}
if (a > 1) res = res / a * (a - 1);
cout << res << endl;
}
return 0;
}
用筛法求欧拉函数
某些情况下,我们需要求出 中每一个数的欧拉函数,在这种情况下用公式来做的话,每个数都需要进行分解质因数,时间复杂度变为 ,效率低下。此时我们可以借助之前学习过的线性筛法求质数,用 的时间复杂度计算出每一个数的欧拉函数。
- 当 是质数时,
- 当
i % primes[j] == 0
时,primes[j]
是i
的一个质因子,则i * primes[j]
与i
具有相同的质因子则即 - 当
i % primes[j] != 0
时,primes[j]
是i * primes[j]
的最小质因子,此时i
的质因子当中不包含primes[j]
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e6 + 10;
int primes[N], cnt; //存储质数和其对应的下标
bool st[N]; // 标记数组,true为合数,false为质数
int phi[N]; // 存储欧拉函数
LL get_eulers(int n)
{
// 由定义知小于等于1的数中,1只与自身互质
phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i ++ ) {
if (!st[i]) {
primes[cnt ++] = i;
// 当i是质数时,其欧拉函数等于n-1
phi[i] = i - 1;
}
// 从小到大枚举质数
for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ ) {
st[primes[j] * i] = true;
/*
* 如果i % primes[j] == 0,则primes[j]就是i的最小质因子
* 则i * primes[j+k]应该用更小的质因子筛去(i的质因子primes[j] < primes[j+k])
* 由于primes[j]是i的质因子,所以i所含的质因子与primes[j]*i的质因子相同
*/
if (i % primes[j] == 0) {
phi[primes[j] * i] = primes[j] * phi[i];
break;
}
/*
* 如果i % primes[j] != 0,则primes[j]不是i的质因子
* 则primes[j] * i除了i的质因子之外,多了一个质因子primes[j]
*/
phi[primes[j] * i] = phi[i] * (primes[j] - 1);
}
}
LL res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) res += phi[i];
return res;
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
cout << get_eulers(n) << endl;
return 0;
}
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】凌霞软件回馈社区,博客园 & 1Panel & Halo 联合会员上线
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】博客园社区专享云产品让利特惠,阿里云新客6.5折上折
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步
· 微软正式发布.NET 10 Preview 1:开启下一代开发框架新篇章
· 没有源码,如何修改代码逻辑?
· NetPad:一个.NET开源、跨平台的C#编辑器
· PowerShell开发游戏 · 打蜜蜂
· 凌晨三点救火实录:Java内存泄漏的七个神坑,你至少踩过三个!