算法学习笔记（18）——并查集（Disjoint-Set）

并查集（Disjoint-Set）

并查集（Disjoint-Set）是一种可以动态维护若干个不重叠的集合，并支持合并与查询的数据结构。详细地说，并查集包括如下两个基本操作：

1. Get，查询一个元素属于哪个集合。
2. Merge，把两个集合合并成一个大集合。

为了具体实现并查集这种数据结构，我们首先需要定义集合的表示方法。在并查集中，我们采用“代表元”法，即为每个集合选择一个固定的元素，作为整个集合的“代表”。
其次，我们需要定义归属关系的表示方法。第一种思路是维护一个数组 \(f\) ，用 \(f[x]\) 保存元素 \(x\) 所在集合的“代表”。这种方法可以快速查询元素的归属集合，但在合并时需要修改大量元素的 \(f\) 值，效率很低。第二种思路是使用一个树形结构存储每个集合，树上的每个节点都是一个元素，树根是集合的代表元素。整个并查集实际上是一个森林（若干棵树）。我们仍然可以维护一个数组 \(p\) 来记录这个森林，用 \(p[x]\) 保存 \(x\) 的父节点。特别地，令树根的 \(p\) 值为它自己。这样一来，在合并两个集合时，只需连接两个树根（令其中一个树根为另一个树根的子节点，即 \(p[root_1] = root_2\) ）。不过在查询元素的归属时，需要从该元素开始通过 \(p\) 存储的值不断递归访问父节点，直至达到树根。为了提高查询效率，并查集引入了路径压缩与按秩合并两种思想。由于按秩合并的优化效果并不明显，本文仅讨论路径压缩这一优化策略。

我们注意到，第一种思路（直接用数组 f 保存代表）的查询效率很高，第二种思路的合并效率很高，所以不妨将两者结合起来。实际上，我们只关心每个集合对应的“树形结构”的根节点是什么，并不关心这棵树的具体形态，这意味着下面两棵树是等价的。

因此，我们可以在每次执行 Get 操作的同时，把访问过的每个节点（也就是查询过的元素的全部祖先）都直接指向树根，即把上图中左边那棵树变成右边那棵。这种优化方法被称为路径压缩。采用路径压缩优化的并查集，每次 Get 操作的均摊复杂度为 \(O(\log n)\)。

模板代码：

1. 并查集的存储：使用一个数组 p 保存父节点（根的父节点设为自己）。

   int p[N];
   

2. 并查集的初始化：设有n个元素，起初所有元素各自构成一个独立的集合，即有 n 棵 1 个点的树。

   for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;
   

3. 并查集的 Get 操作：若 x 是树根，则 x 就是集合代表，否则递归访问 p[x] 直至根节点。

   int get(int x) {
       if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
       return p[x];
   }
   

4. 并查集的 Merge 操作：合并元素 x 和元素 y 所在的集合，等价于让 x 的树根作为 y 的树根的子节点。

   void merge(int x, int y) {
       p[find(x)] = find(y);
   }
   

例题链接:AcWing 836. 合并集合

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int n, m;
int p[N];

int get(int x)
{
    if (p[x] != x) p[x] = get(p[x]);
    return p[x];
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;
    
    while (m -- ) {
        char op;
        int a, b;
        cin >> op >> a >> b;
        if (op == 'M') p[get(a)] = get(b);
        else
            if (get(a) == get(b)) puts("Yes");
            else puts("No");
    }
    
    return 0;
}