树形背包上下界优化复杂度证明

众所周知，一般的树形背包复杂度为 $O(n^2)$，而限制背包上界为 $k$ 的树形背包复杂度为 $O(nk)$。下面给出证明。

对于一般树形背包复杂度为 $O(n^2)$ 的证明#

考虑每个点对只会在 lca 处被统计一次，复杂度显然为 $O(n^2)$。

对于限定上界为 $k$ 树形背包复杂度为 $O(nk)$ 的证明#

考虑每个点 $x$ 向上合并的过程，在 $x$ 所在集合大小没超过 $k$ 之前，显然最多统计 $O(k)$ 次，对于所有点则是 $O(nk)$ 次；在集合大小超过 $k$ 之后，每次加入一个点必然会永久弹出一个点，并付出 $O(k)$ 的额外代价，而由于每个点最多被弹出一次，额外代价也最多是 $O(nk)$ 的，所以总复杂度显然为 $O(nk)$。