常用积性函数的线性筛法整理

简单整理推导加代码，留复习用。

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线性筛素数

最简单也最基础，直接看代码就好了\(……\)

code:

void Euler_Phi_Prime(int n) {
    is_prime[1] = true;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!is_prime[i]) prime[++cnt] = i;
        for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; j++) {
            is_prime[i * prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
}

线性筛欧拉函数

根据欧拉函数的两条性质\(:\)

• 设\(p\)为素数，若\(p|n\)且\(p^2|n\)，则\(\varphi(n)=\varphi(n/p)* p\)

• 设\(p\)为素数，若\(p|n\)且\(p^2 \nshortmid n\)，则\(\varphi(n)=\varphi(n/p)* (p-1)\)

对于第一条性质，若\(p|n\)且\(p^2|n\)，那么显然\(n\)和\(n/p\)包含相同的质因子，并且将两者按照欧拉函数计算公式展开后只有\(p\)的指数不同，上下相除结果即为\(p\)，故此性质成立。

对于第二条性质，若\(p|n\)且\(p^2 \nshortmid n\)，说明\(n\)和\(n/p\)互质，根据欧拉函数为积性函数，我们显然可以得到\(\varphi(n)=\varphi(n/p) * \varphi(p)\)，又因为\(\varphi(p)=p-1\)，所以显然成立。

void Euler_Phi_Prime(int n) {
    phi[0] = phi[1] = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!phi[i]) prime[++cnt] = i, phi[i] = i - 1;
        for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; j++) {
            phi[i * prime[j]] = phi[i] * ((i % prime[j]) ? (prime[j] - 1) : prime[j]);
            if (i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
}

线性求约数个数

考虑我们根据算数基本定理得到的推论之一：

一个正整数\(N\)的约数个数为：

\[d(N)=\prod_{i=1}^{m}(1+c_i) \]

在筛的过程中，我们记录\(N\)的最小素因子\(st[N]\)

我们根据筛素数分成三种情况考虑：

\(1.\)当前的数\(i\)为素数的时候，显然它只有\(1\)和自己两个因子且只有自己一个素因子，此时\(d(i)=2,\ st[i]=1\)

\(2.\)当\(i\) % \(prime[j]!=0\)时，显然\(i\)不包含\(prime[j]\)这个质因子，且\(prime[j]\)一定是\(i * prime[j]\)的最小质因子，因为我们是在从小到大枚举素数，这样\(i * prime[j]\)就相当于比\(i\)多了一个因子\(prime[j]\)，那么\(i * prime[j]\)的约数和就为\(:\)

\[d(i * prime[j])=(1+c_1)(1+c_2)……(1+c_m)(1+1) \]

最后的\((1+1)\)即表示质因数分解后\(prime[j]\)的指数为\(1\)，此时\(d(i * prime[j])=d(i) * d(prime[j])\) \(st[i * prime[j]]=1\).

\(3.\)当\(i\)%\(prime[j]==0\)时，显然\(i\)是包含\(prime[j]\)这个质因子的，\(i * prime[j]\)只是比\(i\)多了一个\(i\)的最小质因子，\((\)因为是从小到大枚举素数的\()\)即\(:\)

\[(i * prime[j])=(1+c_1+1)(1+c_2)……(1+c_m) \]

所以此时\(d(i * prime[j])=d(i) / (st[i] + 1) * (st[i] + 2)\) \(st[i * prime[j]]=st[i]+1\)

code：

void Euler_Phi_Prime(int n) {
    is_prime[1] = true, d[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!is_prime[i]) prime[++cnt] = i, d[i] = 2, st[i] = 1;
        for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; j++) {
            is_prime[i * prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] == 0) {
                d[i * prime[j]] = d[i] / (st[i] + 1) * (st[i] + 2);
                st[i * prime[j]] = st[i] + 1; break;
            }
            d[i * prime[j]] = d[i] * d[prime[j]], st[i * prime[j]] = 1;
        }
    }
}

线性筛约数和

考虑算术基本定理的另一个推论\(:\)

一个正整数\(N\)的约数和为\(:\)

\[sd(N)=\prod_{i=1}^{m}{\large\lbrace}\sum_{j=0}^{c_i}(p_i)^j{\large\rbrace} \]

\[sd(N)=(1+p_1+p_1^2+ ……+p_1^{c_1})(1+p_2+p_2^2+ ……+p_2^{c_2})……(1+p_m+p_m^2+ ……+p_m^{c_m})\]

筛的过程中我们记录\(st[i]=(1+p_i+p_i^2+ ……+p_i^{c_i})\)

仍旧按筛素数的情况分成三种情况考虑\(:\)

\(1.\)当当前的数\(i\)为质数时，显然\(i\)只有\(1\)和自己两个因子，显然\(sd[i]=st[i]=i+1\)

\(2.\)当\(i\)%\(prime[j]!=0\)时，显然\(i\)并不包含\(prime[j]\)这个质因子，且\(prime[j]\)一定是\(i * prime[j]\)的最小质因子，因为我们是在从小到大枚举素数，这样\(i * prime[j]\)就相当于比\(i\)多了一个因子\(prime[j]\)，答案多累加上\(prime[j]\)的贡献即可\(:\)

\[sd(i* prime[j])=(1+p_1+p_1^2+ ……+p_1^{c_1})……(1+p_m+p_m^2+ ……+p_m^{c_m})(1+prime[j])\]

此时，\(sd[i* prime[j]]=sd[i] * sd[prime[j]],\ st[i* prime[j]]=prime[j]+1\)

\(3.\)当\(i\)%\(prime[j]==0\)时，显然\(i\)是包含\(prime[j]\)这个质因子的，\(i * prime[j]\)只是比\(i\)多了一个\(i\)的最小质因子，\((\)因为是从小到大枚举素数的\()\)，所以\(i* prime[j]\)的约数和就表示为\(:\)

\[sd(i * prime[j])=(1+p_1+p_1^2+ ……+p_1^{c_1}+p_1^{c_1+1})……(1+p_m+p_m^2+ ……+p_m^{c_m})\]

此时，\(sd[i * prime[j]]=sd[i] / st[i] * (st[i] * prime[j]+1),\ st[i * prime[j]]=st[i]* prime[j]+1\)

code：

void Euler_Phi_Prime(int n) {
    is_prime[1] = true, sd[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!is_prime[i]) prime[++cnt] = i, sd[i] = i + 1, st[i] = i + 1;
        for (int j = 1; j <= cnt && i * prime[j] <= n; j++) {
            is_prime[i * prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] == 0) {
                sd[i * prime[j]] = sd[i] / st[i] * (st[i] * prime[j] + 1);
                st[i * prime[j]] = st[i] * prime[j] + 1; break;
            }
            sd[i * prime[j]] = sd[i] * sd[prime[j]], st[i * prime[j]] = prime[j] + 1;
        }
    }
}

线性筛莫比乌斯函数

窝太菜了，证明还是先鸽着吧\(……\)

code：

void Euler_phi(int n) {
	is_prime[1] = true, mu[1] = 1;
	for (int i = 2;  i <= n; i++) {
		if (!is_prime[i])
			prime[++cnt] = i, mu[i] = -1;
		for (int j = 1; j <= cnt && (i * prime[j]) <= n; j++) {
			is_prime[i * prime[j]] = true;
			if (i % prime[j] == 0) {
				mu[i * prime[j]] = 0;
				break;
			}
			mu[i * prime[j]] = -mu[i];
		}
	}
}