tarjan求LCA

最近又重新回顾了下tarjan离线算法求LCA，算是明白是什么意思了，在博客园发现很多文章并没有图，所以这里画个图来帮助还没有理解的人，也算是自己巩固下

LCA

首先我们还是来回顾下什么是LCA
就是最近公共祖先，即a,b的最近公共祖先既是a的祖先，也是b的祖先，况且是a,b的所有公共祖先里面离a和b最近的

在上面这个图中，2和5的公共祖先有3和1，但是LCA是3，因为3比1更接近3和5

Tarjan算法

tarjan算法就这几个步骤：
1.标记当前节点x已访问，但是还没有回溯

2.枚举所有没有访问的过的子节点y，继续遍历子节点

3.合并y到x上

4.访问所有与当前节点有询问并且回溯过的y x,y的lca就是find(y)

5.标记当前节点回溯

在合并的过程中，我们用到了并查集这个数据结构

如果你看不懂，我们来结合代码：

vector<int>g[N];
vector<pair<int,int>>query[N];
int find(int x)  //并查集的find函数
{
    if(fa[x] != x) fa[x] = find(fa[x]);
    return fa[x];
}
void tarjan(int q)  //q表示当前遍历的节点
{
    vis[q]++;  //标记为1
    for(int t:g[q])  //枚举子节点
    {
        if(!vis[t])  //如果子节点还没有被访问
        {
            tarjan(t);     //遍历子节点
            fa[t] = q;    //合并子节点到当前节点
        }
    }
    for(auto t:query[q])//与q结点有关的询问t.second是问题编号，t.first是询问的另一个结点
    {
        int v = t.x, id = t.y;
        if(vis[v] == 2 && !lca[id])  //如果第id个问题还没有找到lca并且v节点已回溯
        {
            lca[id] = find(v);
        }

    }
    vis[q]++;  //标记为2 表示已回溯
}

其实我想这段伪代码对于大多数acmer来说很好实现，可是大家可能还是不清楚这个到底是怎么回事

首先大家要明白一件事：两个点的lca要么是其中一个点，要么就是其父亲及其祖先了

还是刚刚那张图，我们查询2和8的lca

红色->橙色->蓝色->绿色为dfs遍历的顺序

首先我们让所有fa[i]=i 其实就是先假设lca可能就是自己

我们从根节点1遍历到3，先到2，发现2是子节点不能往下走了，然后看和2有关的查询5节点，发现5根本就没有访问过，所以只能回溯了，那么lca为2是不可能的了，所以把2合并到3里面，因为和2有关的lca不能是2了，因为3是2的父亲，所以3是极有可能作为lca的

这就是为什么我们有

fa[t] = q; 

因为t不可能作为lca了，但是q有可能。

我们继续遍历5，8 然后遍历到8发现和8有关的2已经回溯过了，所以2和8的lca是find(2)也就是3.

假如我们要查询2和4也是同理。但我们从3回溯以后

fa[3]已经变成1了。为什么呢？

因为3已经不可能再作为剩下的点的lca了，能把3当做lca的点已经在遍历3的子节点的时候已经遍历过了

换个角度看，tarjan算法也可以理解为，我一个一个的看子树，我先看5的子树里面有没有以5为lca的，如果没有，那就看3的子树里面有没有以3为lca的。以此类推。

洛谷模板题：https://www.luogu.com.cn/problem/P3379

代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;
const int N = 5e+5+100;
typedef pair<int,int> PII;
int n,m,vis[N],fa[N],lca[N];
vector<int>g[N];
vector<PII>query[N];
ll read()
{
    ll x=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*f;
}
int find(int x)  //并查集的find函数
{
    if(fa[x] != x) fa[x] = find(fa[x]);
    return fa[x];
}
void tarjan(int q)  //q表示当前遍历的节点
{
    vis[q]++;  //标记为1
    for(int t:g[q])  //枚举子节点
    {
        if(!vis[t])  //如果子节点还没有被访问
        {
            tarjan(t);     //遍历子节点
            fa[t] = q;    //合并子节点到当前节点
        }
    }
    for(auto t:query[q])//与q结点有关的询问t.second是问题编号，t.first是询问的另一个结点
    {
        int v = t.x, id = t.y;
        if(vis[v] == 2 && !lca[id])  //如果第id个问题还没有找到lca并且v节点已回溯
        {
            lca[id] = find(v);
        }

    }
    vis[q]++;  //标记为2 表示已回溯
}
int main()
{
    int s;
    cin >> n >> m >> s;
    for(int i = 1; i < n; i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        g[x].push_back(y);
        g[y].push_back(x);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;

    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        if(a == b)
        {
            lca[i] = a;
            continue;
        }
        query[a].push_back({b,i});
        query[b].push_back({a,i});
    }
    tarjan(s);
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        printf("%d\n",lca[i]);
    }

    return 0;
}