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莫比乌斯反演：

$F(n) = \sum\limits_{d|n} {f(d)} \Leftrightarrow \sum\limits_{d|n} {\mu (d)F(\frac{n}{d})} $

其中

${\mu (d)}$为莫比乌斯函数:

若$d$等于0 , 则${\mu (d)}$=1

若$d = {p_1}{p_2}{p_3}...{p_k}$ , ${p_i}$为互异质数，则${\mu (d)}$=${( - 1)^k}$

其他情况下${\mu (d)}$=0

 

莫比乌斯函数的性质：

$(1):$对于任意正整数$n$有:

$\sum\limits_{d|n} {\mu (d)} {\rm{ = }}\left\{ \begin{array}{l}
1(n = 1)\\
0(n > 1)
\end{array} \right.$

$(2):$对于任意正整数有：

$\sum\limits_{d|n} {\frac{\mu (d)}{d}}=\frac{\varphi (n)}{n}$
$n=\sum\limits_{d|n} {\varphi (d)}$

$(3):$积性函数

欧拉函数的性质：

$\varphi({p^k})={p^k}-{p^{k-1}}$

欧拉定理：${a^{\varphi(n)}}\equiv 1 {(mod\ n)}$
${a^{-1}}\equiv {a^{\varphi(n)-1}}{(mod\ n)}$

当$n>1$时,$1...n$中与$n$互质的整数和为$\frac{n\varphi(n)}{2}$