透过皮亚诺公理看自然数

透过皮亚诺公理看自然数

皮亚诺公理

1. 0是自然数

2. 每一个确定的自然数$a$都有后继数，记作$a'$，后继数$a'$也是自然数。（数$a$的后继数就是紧挨着$a$的一个整数，即$a' = a + 1$）

3. 0不是任何自然数的后继数

4. 不同的自然数有不同的后继数，如果自然数$b$和$c$的后继数都是自然数$a$，那么$b = c$；

5. 数学归纳法：设法则$P(n)$是关于自然数$n$的法则，若$P(0)$成立，且假设$P(N)$成立时可推得$P(N')$成立(或称$P(N+1)$成立)，则$P$对全体自然数都成立。

   如，已经直到$P(N)$对$P(0)$成立，且当$P(N)$成立时$P(N')$成立，要证明$P(3)$成立，可以根据如下步骤递归：

   1. $P(3)$成立即证明$P(2)$成立，因为当$P(N)$成立时，$P(N')$成立
   2. $P(2)$成立即$P(1)$成立
   3. $P(1)$成立即$P(0)$成立，而我们已经事先证明了$P(0)$成立，因此可证$P(3)$成立。

   下面的论证多使用数学归纳法。

加法的定义

定义

我们定义，加法是满足以下两种规则的运算：

• $\forall m∈N$，$0 + m = m$

• $\forall m,n∈N$，$n' + m = (n + m)'$

比如说：$3 + 2 = (3 + 1)' = (3 + 1)' = ((3 + 0)'' = 3'' = 5$。

注：以后在“(自然数)皮亚诺公理”的讨论中，$m$和$n$特指自然数

推论

a. $1 + 1 = 2$

$1 + 1 = 0' + 1 = (0 + 1)' = 1' = 2$

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b. 加法结合律

即$∀a,b,c∈N$满足：
$(a+b)+c=a+(b+c)$

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证明过程使用数学归纳法

第一步

若$a = 0$，则：
$(a + b) + c = (0 + b) + c = b + c = 0 + (b + c)$
$0 + b = b$根据加法的定义可以得到，$0 + (b + c)$根据加法的定义得到。

第二步

假设有自然数$k$(注：以后在“(自然数)皮亚诺公理”的讨论中，凡是使用数学归纳法证明中的$k$均指自然数)，使$a = k$，满足$(a+b)+c=a+(b+c)$：

则，当$a = k'$时：
$(a+b)+c = (k' + b) + c = (k + b)' + c = ((k + b) + c)' = (k + (b + c))' = k' + (b + c) = a + (b + c)$
当然，从$(k + (b + c))'$我们可以得到$k' + (b + c)$也可以得到$k + (b + c)'$，但$k' + (b + c)$更有利于证明过程。

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c. $m’ = 1 + m$

前面，我们是规定了$m' = m + 1$，现在来证明$m' = 1 + m$。

第一步

若$m = 0$，则：
$1 + m = 1 + 0 = 0' + 0 = (0 + 0)' = 0' = m'$
第二步

假设$m = k$时，$m' = 1 + m$成立，则当$m = k'$时：
$1 + m = 1 + k' = (1 + k)' = (k')' = m'$

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d. $m = m + 0$

第一步

若$m = 0$，则：
$m + 0 = 0 + 0 = 0 + m = m$
第二步

假设$m = k$时，$m' = m + 0$成立，则当$m = k'$时：
$m + 0 = k' + 0 = (k + 0)' = k' = m$

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e.加法交换律

结合上面c和d的证明，可以得到加法交换律。

即$∀a,b∈N$满足：
$a + b = b + a$

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第一步

若$a = 0$，则：
$a + b = 0 + b = b = b + 0 = b + a$
其中，$b = b + 0$就是使用了上面d的证明

第二步

假设$a = k$时，$a + b = b + a$成立，则当$a = k'$时：
$a + b = k' + b = (k + b)' = (b + k)' = b + k' = b + a$

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f.加法消去律

即$∀a,b,c∈N$满足：
$a + c = b + c \Leftrightarrow a = b$

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第一步

若$c = 0$，则：
$a + c = b + c \Leftrightarrow a + 0 = b + 0 \Leftrightarrow a = b$
第二步

若$c = k$时，$a + c = b + c \Leftrightarrow a = b$，则当$c = k'$时：
$a + c = b + c \Leftrightarrow a + k' = b + k' \Leftrightarrow (a + k)' = (b + k)' \Leftrightarrow a + k = b + k \Leftrightarrow a = b$
其中，$(a + k)' = (b + k)' \Leftrightarrow a + k = b + k$运用了公理四，$a + k = b + k \Leftrightarrow a = b$由数学归纳可得。

乘法的定义

定义

我们定义，乘法是满足以下两种规则的运算：

• $\forall m∈N$，$m \times 0 = 0$

• $\forall m,n∈N$，$m \times n' = m \times n + m$。

比如说：$3 \times 2 = 2' \times 2 = 2 \times 2 + 2 = (1 \times 2 + 2) + 2 = ((0 \times 2 + 2) + 2) + 2 = 0 + 2 + 2 + 2 = 6$，

推论

a. 乘法分配律

即$∀a,b,c∈N$满足：
$a\times (b + c) = a \times b+ a \times c$

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第一步

若$b = 0$，则：
$a \times (b + c) = a \times (0 + c) = a \times c = 0 + a \times c = a \times 0 + a \times c = a \times b + a \times c$
第二步

假设$b = k$时，$a\times (b + c)=a \times b+ a \times c$成立，则当$b = k'$时：
$a \times (b + c) = a \times (k' + c) = a \times (k + c)' = a \times (k + c) + a = a \times k + a \times c + a$
在根据加法结合律和交换律可以得到：
$a \times k + a \times c + a = a \times k + (a \times c + a) = a \times k + (a + a \times c) = (a \times b + a) + a \times c = a \times k' + a \times c = a \times b + a \times c$

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b. $0 \times m = 0$

第一步

若$m = 0$，则：
$0 \times m = 0 \times 0 = m \times 0 = 0$
第二步

假设$m = k$时，$0 \times m = 0$成立，则当$m = k'$时：
$0 \times k' = 0 \times k + 0 = 0 + 0 = 0$

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c. $n' \times m = n \times m + m$

第一步

若$m = 0$，则：
$n' \times m = 0$
因为：
$n \times 0 = 0 = 0 + 0 = n \times 0 + 0$
所以：
$n' \times m = 0 = n \times 0 + 0 = n \times m + m$
第二步

假设$m = k$时，$n' \times m = n \times m + m$成立，则当$m = k'$时：
$n' \times m = n' \times k' = n' \times k + n' = (n \times k + k) + n' = (n \times k + k) + (n + 1) = n \times k + k + n + 1$
根据加法交换律，可以得到：
$n \times k + k + n + 1 = n \times k + n + k + 1 = (n \times k + n) + (k + 1) = n \times k' + k' = n \times m + m$

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d. 乘法交换律

即$∀a,b∈N$满足：
$a \times b = b \times a$

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第一步

若$a = 0$，则：
$a \times b = 0 \times b = 0 = b \times 0 = b \times a$
第二步

假设$a = k$时，$a \times b = b \times a$成立，则当$a = k'$时：
$a \times b = k' \times b = k \times b + b = b \times k + k = b \times k' = b \times a$

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e. 乘法结合律

即$∀a,b,c∈N$满足：
$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$

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第一步

若$a = 0$，令$h = b \times c$，则：
$(a \times b) \times c = (0 \times b)\times c = 0 \times c = 0\\ a \times (b \times c) = 0 \times h = 0$
所以：
$(a \times b)\times c = a \times (b \times c) = 0$
第二步

假设$a = k$时，$(a \times b)\times c = a \times (b \times c)$成立，则当$a = k'$时：
$(a \times b) \times c = (k' \times b) \times c = (k \times b + b) \times c = (k \times b)\times c + (b \times c) = k \times (b \times c) + (b \times c)\\ a \times (b \times c) = k' \times (b \times c) = k \times (b \times c) + (b \times c)$
所以：
$(a \times b )\times c = a \times (b \times c)$

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f. $n \times m = 0$，$m$和$n$中有且至少有一个为$0$

若$m$和$n$都不为零，则必然存在自然数$a$和$b$为$m$和$n$的后继数，即：
$m = a' = a + 1\\ n = b' = b + 1$
所以：
$n \times m = (a')\times b' = a \times b' + b' = a \times b + a + b' = a \times b + a + n$
很显然，当$m$和$n$不为0的时候$a \times b + a + n$也不为0。因此$m \times n = 0$，$m$和$n$中至少有一个为$0$。

若$m$或$n$有一个是0或都是0，则上述推论不成立，因为0不是任何自然数的后继数。然后，根据乘法的性质可推出$m \times n = 0$。

---

g. 乘法消去律

注：推导乘法消去律涉及自然数的序和正自然数的一些推论和定义

即$∀a,b∈N$且$c∈N^+$满足：
$a\times c = b\times c \Leftrightarrow a = b$

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推动过程使用反证法

已知$a \times c = b \times c$，若：

$a \gt b$，则：
$a = b + m \Leftrightarrow a \times c = b \times c = (b + m) \times c \Leftrightarrow b \times c = b \times c + m \times c$
根据上面可得：$m \times c = 0$，而$m$和$c$都不为0，因此矛盾。

同理可证$a \lt b$也是矛盾的，根据自然数的序的三歧性，可得：$a = b$

正自然数

定义：不是0的自然数叫正自然数

推论

a.自然数和正自然数相加结果为正自然数

即$∀a∈N$且 $b,c∈N^+$满足：
$a + b = c$

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第一步

若$a = 0$，则：
$a + b = 0 + b = b = c$
$b$和$c$都是正自然数，上述推导成立。

第二步

假设$a = k$时，$a + b = c$成立，当$a = k'$时：
$a + b = k' + b = (k + b)' = c$
因为$k + b$是正自然数(即不是0)，则$(k + b)'$也是正自然数(0不是任何自然数的后继数)。

自然数的序

$m \ge n$(或$n \le m$)，当且仅当存在自然数$a$使得$m = n + a$。称$m \gt n$(或$n \lt m$)，当且仅当$m \ge n$(或$n \le m$)，且$m \ne n$。

推论

注：下推论默认$∀a,b,c∈N$

a.$a \ge a \Leftrightarrow a = 0 + a$

$a \ge a \Leftrightarrow a = a + m \Leftrightarrow a = a + 0$

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b.$a \ge b, b \ge c \Leftrightarrow a \ge c$

由$a \ge b, b \ge c$，可得：
$a = b + m_0\\ b = c + m_1$
其中$m_1$和$m_0$都是自然数

因此：
$a = c + m_1 + m_0 \Leftrightarrow a = c + (m_0 + m_1)$
令自然数$m = m_0 + m_1$，则：
$a = c + m \Leftrightarrow a \ge c$

---

c.$a \ge b, b \ge a \Leftrightarrow a = b$

由$a \ge b, b \ge a$，可得：
$a = b + m_0\\ b = a + m_1$
其中$m_1$和$m_0$都是自然数

因此：
$a = (a + m_1) + m_0 = a + (m_1 + m_0) = a + 0$
根据加法消去律和交换律可得：
$m_1 + m_0 = 0$
因为自然数和正自然数相加结果为正自然数，所以$m_1$和$m_0$均不是正自然数，即：$m_1 = m_0 = 0$

根据$a = b + m_0$，可得：
$a = b + 0 \Leftrightarrow a = b$

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d.$a \ge b \Leftrightarrow a' \ge b'$

第一步

若$b = 0$，则：
$a \ge b \Leftrightarrow a \ge 0 \Leftrightarrow a = 0 + m \Leftrightarrow a' = (0 + m)' \Leftrightarrow a' = 0' + m \Leftrightarrow a' \ge 0' = a \ge b'$
其中，$a = 0 + m \Leftrightarrow a' = (0 + m)'$根据公理三推出。

第二步

若$b = k$时，$a \ge b \Leftrightarrow a' \ge b'$成立，则$b = k'$时：
$a \ge b \Leftrightarrow a \ge k' \Leftrightarrow a = k' + m \Leftrightarrow a = (k + m)' \Leftrightarrow a' = (k + m)'' \Leftrightarrow a' = k'' + m \Leftrightarrow a' \ge k'' \Leftrightarrow a' \ge b'$

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e.$a \ge b \Leftrightarrow a + c \ge b + c$

第一步

若$c = 0$时，则有：
$a + c \ge b + c \Leftrightarrow a + 0 \ge b + 0 \Leftrightarrow a \ge b$
第二步

若$c = k$时，$a \ge b \Leftrightarrow a + c \ge b + c$成立，则$c = k'$时：
$a + c \ge b + c \Leftrightarrow a + k' \ge b + k' \Leftrightarrow (a + k)' \ge (b + k)' \Leftrightarrow a + k \ge b + k \Leftrightarrow a \ge b$

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f.当$∀a,b∈N$且$c∈N^+$, 有$a \gt b \Leftrightarrow a = b + c$

根据$a \gt b$，可得：
$a = b + c\\ a \ne b$
若$c = 0$，则：
$a = b + c \Leftrightarrow a = b + 0 \Leftrightarrow a = b$
可见，若$c = 0$会出现冲突（$a = b$且$a \ne b$的冲突），因此$c \ne 0$。

因为$c$是自然数，且$c \ne 0$，因此$c$是正自然数，即$c ∈N^+$

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g.$a \ge b \Leftrightarrow a' \gt b$

根据$a \ge b$，则有：
$a \ge b \Leftrightarrow a = b + m \Leftrightarrow a' = (b + m)' \Leftrightarrow a' = b + m' \Leftrightarrow a' \ge b$
其中，$m' \ne 0$，因为$0$不是任何数的后继数，则：$a \ne b$，因此：
$a' = b + m' \Leftrightarrow a \ge b \Leftrightarrow a \gt b$

h.当$∀a,b∈N$且$c∈N^+$, 有$a \ge b \Leftrightarrow a \times c \ge b \times c$

根据$a \gt b$，可得：
$a = b + c \Leftrightarrow a \times c = b \times c + m \times c \Leftrightarrow a \times c \ge b \times c$

i.自然数的序的三歧性

即，任意自然数$a$和$b$，对下面命题：

• $a = b$
• $a \gt b$
• $a \lt b$

都有且只有一个是成立的。

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证明三者只有一个成立
$a = b \Leftrightarrow a + 0 = b \Leftrightarrow a = b + 0\\ a \gt b \Leftrightarrow a = b + m\\ a \lt b \Leftrightarrow b = a + n$
其中，$n$和$m$均为正自然数。

若$a = b$和$a \gt b$同时成立，则：
$a = b + 0\\ a = b + m$
即：
$b + 0 = b + m$
根据加法消去律可得$m = 0$，因为$m$是正自然数，因此$a = b$且$a \ge b$矛盾。

若$a = b$和$a \lt b$同时成立，则：
$a + 0 = b\\ b = a + n$
即：
$a + 0 = a + n$
根据加法消去律可得$n = 0$，结果矛盾。

若$a \gt b$和$a \lt b$同时成立，则：
$a = b + m\\ b = a + n$
即：
$a = b + m = a + n + m = a + (n + m)$
因为：
$a = a + 0$
所以：
$n + m = 0$
因为自然数和正自然数相加结果为正自然数，所以$m = n = 0$，矛盾。

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证明三者有一个成立

第一步

若$b = 0$，则$a$和$b$的有序关系是：
$a = 0 + a \Leftrightarrow a = b + a \Leftrightarrow a \ge b$
其中，$a \ge b$即：
$a \gt b$
或
$a = b$
第二步

假设，$a$和$b$，在$b=k$时，存在有序关系$a = b$或$a \gt b$或$a \lt b$，当$b = k'$时则：

若$b = k$时，$a = b$成立，则当$b = k'$时：
$a = k \Leftrightarrow a + 1 = k' \Leftrightarrow a + 1 = b \Leftrightarrow a \lt b$
若$b = k$时，$a \gt b$成立，则当$b = k'$时：
$a \gt k \Leftrightarrow a = k + m \Leftrightarrow a' = (k + m)' \Leftrightarrow a' = k' + m \Leftrightarrow a' \gt b \Leftrightarrow a \ge b$
其中，$a \ge b$即：
$a \gt b$
或
$a = b$
若$b = k$时，$a \lt b$成立，则当$b = k'$时：
$a \lt k \Leftrightarrow a \lt k' \Leftrightarrow a \lt b$

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第二数学归纳法

设法则$P(m)$是关于自然数$m$的法则，其满足一下两个命题：

1. 对于有自然数$m_0$满足$m_0 \le m$，有$P(m_0)$成立
2. 对于自然数$m_1$满足$m_0 \le m_1 \le m$，假设$P(m_1)$成立可以，推导$P(m + 1)$成立

则法则$P(m)$对一切大于或等于$m_0$的自然数(即$m \ge m_0$)都成立。

证明

根据$m_0 \le m$，可以得到：
$m = m_0 + k \Leftrightarrow m_0 \le m_1 \le m_0 + k$
设法则$S$为：
$S(k) = P(m_1)$
首先，我们知道$P(m_0)$成立，也就是$S(0)$成立。当$m = m_0$时，$k=0$。

根据假设$P(m_1)$成立可以，推导$P(m + 1)$成立，即根据$S(k)$成立推出$S(k + 1)$成立，根据数学归纳法可得到$S(k)$对一切自然数$k$成立。

因此，$P(m)$对一切大于$m_0$的自然数都成立。

注：公理五的数学归纳法又称为第一数学归纳法。广义的数学归纳法指：第一和第二数学归纳法；狭义的数学归纳法指：第一数学归纳法。我们常说的是狭义的数学归纳法。

倒向数学归纳法

设法则$P(m)$是关于自然数$m$的法则，其满足一下两个命题：

1. 对于自然数$m_0$，有$P(m_0)$成立
2. 假设$P(m')$成立可以推导得到$P(m)$成立

则法则$P(m)$对一切小于或等于$m_0$的自然数(即$m \le m_0$)都成立。

其本质其实就是倒过来的数学归纳法，对一切$P(m)$的证明，最终都可以归纳成$P(n)$。

证明：当$∀n,a,b∈N$且$q∈N^+$，总有$n \le b \lt q$且$n = a\times q + b$

第一步

若$n = 0$，显然当$a = b = 0$时，$n = a\times q + b$成立。

第二步

若$n = k$时，$n = aq + b$成立，此时的$a$记作$a_1$，此时的$b$记作$b_1$，当$n = k' = k + 1$时，则：

1. 若$b + 1 \lt q$，则：
   $n = k' = k + 1 = (a_1\times q + b_1) + 1 = a_1\times q + (b_1 + 1) = a_1\times q + {b_1}'$
   即：
   $a = a_1\\ b = {b_1}'$

2. 若$b + 1 = q$，则：
   $n = k' = k + 1 = (a_1\times q + b_1) + 1 = a_1\times q + (b_1 + 1) = a_1\times q + q = (a_1 + 1)q = {a_1}'\times q$
   即：
   $a = {a_1}'\\ b = 0$

3. 若$b + 1 \gt q$，这种情况不存在。

对于上述研究，可以表述为：

对于任意自然数$a$，$b$，若满足：$0 \lt b \lt a$，总有自然数$N$，使得：$N \times b = a$