数论之基础

本文对于数论的开头部分做一个简介。

符号

整除/同余理论常见符号

1. 整除符号：$x|y$，表示$x$ 整除$y$，即$x$ 是$y$ 的因数。
2. 取模符号：$xmody$，表示$x$ 除以$y$得到的余数。
3. 互质符号：$x\perp y$，表示$x,y$ 互质。
4. 最大公约数：$gcd(x,y)$，在无混淆意义的时侯可以写作$(x,y)$。
5. 最小公倍数：$lcm(x,y)$，在无混淆意义的时侯可以写作$[x,y]$。

数论函数常见符号

​ 求和符号：$\sum$符号，表示满足特定条件的数的和。举几个例子：
• $\sum _{i=1}^{n}i$表示$1+2+...+n$的和。其中$i$是一个变量，在求和符号的意义下$i$通常是正整数或者非负整数（除非特殊说明）。这个式子的含义可以理解为，$i$从$1$循环到$n$，所有$i$的和。这个式子用代码的形式很容易表达。当然，学过简单的组合数学的同学都知道$\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$。
• $\sum _{S\subseteq T}|S|$表示所有被$T$包含的集合的大小的和。
• $\sum _{p\le n,p\perp n}1$ 表示的是$n$以内有多少个与$n$互质的数，即$\phi (n)$，$\phi$ 是欧拉函数。

​ 求积符号：$\prod$符号，表示满足特定条件的数的积。举几个例子：
• $\prod _{i=1}^{n}i$表示$n$的阶乘，即$n!$。在组合数学常见符号中会讲到。
• $\prod _{i=1}^n{a}_i$表示$a_1\times a_2\times a_3\times ...\times a_n$。
• $\prod _{x|d}x$表示$d$的所有因数的乘积。
​ 在行间公式中，求和符号与求积符号的上下条件会放到符号的上面和下面，这一点要注意。

其他常见符号

1. 阶乘符号$!$，$n!$表示$1\times 2\times 3\times ...\times n$。特别地，$0!=1$。
2. 向下取整符号：$\lfloor x\rfloor$，表示小于等于$x$的最大的整数。常用于分数，比如分数的向下取整$\lfloor \frac{x}{y}\rfloor$。
3. 向上取整符号：$\lceil x\rceil$，与向下取整符号相对，表示大于等于$x$的最小的整数。

整除

​ 整除的定义： 设 𝑎, 𝑏 ∈ Z，𝑎 ≠ 0。如果 ∃𝑞 ∈ Z，使得 𝑏 = 𝑎𝑞，那么就说 𝑏 可被 𝑎 整除，记作 𝑎 ∣ 𝑏，且称 𝑏 是 𝑎 的倍数，𝑎 是 𝑏 的约数（因数）。

​ 𝑏 不被 𝑎 整除记作 𝑎 ∤ 𝑏。

​ 整除的性质：

• 𝑎 ∣ 𝑏 ⟺ −𝑎 ∣ 𝑏 ⟺ 𝑎 ∣ −𝑏 ⟺ |𝑎| ∣ |𝑏|

• 𝑎 ∣ 𝑏 ∧ 𝑏 ∣ 𝑐 ⟹ 𝑎 ∣ 𝑐

• 𝑎 ∣ 𝑏 ∧ 𝑎 ∣ 𝑐 ⟺ ∀𝑥, 𝑦 ∈ Z, 𝑎 ∣ (𝑥𝑏 + 𝑦𝑐)

• 𝑎 ∣ 𝑏 ∧ 𝑏 ∣ 𝑎 ⟹ 𝑏 = ±𝑎

• 设 𝑚 ≠ 0，那么 𝑎 ∣ 𝑏 ⟺ 𝑚𝑎 ∣ 𝑚𝑏。

• 设 𝑏 ≠ 0，那么 𝑎 ∣ 𝑏 ⟹ |𝑎| ≤ |𝑏|。

• 设 𝑎 ≠ 0, 𝑏 = 𝑞𝑎 + 𝑐，那么 𝑎 ∣ 𝑏 ⟺ 𝑎 ∣ 𝑐。

0 是所有非 0 整数的倍数。对于整数 𝑏 ≠ 0，𝑏 的约数只有有限个。

显然约数（显然因数）：对于整数 𝑏 ≠ 0，±1、±𝑏 是 𝑏 的显然约数。当 𝑏 = ±1 时，𝑏 只有两个显然约数。

对于整数 𝑏 ≠ 0，𝑏 的其他约数称为真约数（真因数、非显然约数、非显然因数）。

​ 约数的性质：

• 设整数 𝑏 ≠ 0。当 𝑑 遍历 𝑏 的全体约数的时候， $\frac{b}{d}$也遍历 𝑏 的全体约数。

• 设整数 𝑏 > 0，则当 𝑑 遍历 𝑏 的全体正约数的时候， $\frac{b}{d}$也遍历 𝑏 的全体正约数。

带余数除法

​ 余数的定义： 设 𝑎, 𝑏 为两个给定的整数，𝑎 ≠ 0。设 𝑑 是一个给定的整数。那么，一定存在唯一的一对整数 𝑞 和 𝑟，满足 𝑏 = 𝑞𝑎 + 𝑟, 𝑑 ≤ 𝑟 < |𝑎| + 𝑑。

​ 无论整数 𝑑 取何值，𝑟 统称为余数。𝑎 ∣ 𝑏 等价于 𝑎 ∣ 𝑟。

​ 一般情况下，𝑑 取 $0$，此时等式 𝑏 = 𝑞𝑎 + 𝑟, 0 ≤ 𝑟 < |𝑎| 称为带余数除法（带余除法）。这里的余数 𝑟 称为最小非负余数。

​ 余数往往还有两种常见取法：

​ 绝对最小余数：𝑑 取 𝑎 的绝对值的一半的相反数。即$b=qa+r,-\frac{|a|}{2}\le r<|a|-\frac{|a|}{2}$。

​ 最小正余数：𝑑 取 1。即 𝑏 = 𝑞𝑎 + 𝑟, 1 ≤ 𝑟 < |𝑎| + 1。

​ 带余数除法的余数只有最小非负余数。如果没有特别说明，余数总是指最小非负余数。

​ 余数的性质：

• 任一整数被正整数 𝑎 除后，余数一定是且仅是 0 到 (𝑎 − 1) 这 𝑎 个数中的一个。

• 相邻的 𝑎 个整数被正整数 𝑎 除后，恰好取到上述 𝑎 个余数。特别地，一定有且仅有一个数被 𝑎 整除。

最大公约数与最小公倍数

关于公约数、公倍数、最大公约数与最小公倍数，四个名词的定义，这里暂时不赘述，详情可参见别的博客。

互素

​ 两个整数互素（既约）的定义：若 gcd(𝑎1 , 𝑎2 ) = 1，则称 𝑎1 和 𝑎2 互素（既约）。

​ 多个整数互素（既约）的定义：若 gcd(𝑎1 , … , 𝑎𝑘 ) = 1，则称 𝑎1 , … , 𝑎𝑘 互素（既约）。

​ 多个整数互素，不一定两两互素。例如 6、10 和 15 互素，但是任意两个都不互素。

​ 互素的性质与最大公约数理论：裴蜀定理（Bézout’s identity）。见 裴蜀定理。

辗转相除法

​ 辗转相除法是一种算法，也称 Euclid 算法。

int gcd(int a, int b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}

素数与合数

设整数 𝑝 ≠ 0, ±1。如果 𝑝 除了显然约数外没有其他约数，那么称 𝑝 为素数（不可约数）。

若整数 𝑎 ≠ 0, ±1 且 𝑎 不是素数，则称 𝑎 为合数。

𝑝 和 −𝑝 总是同为素数或者同为合数。如果没有特别说明，素数总是指正的素数。

整数的因数是素数，则该素数称为该整数的素因数（素约数）。

素数与合数的简单性质：

• 大于 1 的整数 𝑎 是合数，等价于 𝑎 可以表示为整数 𝑑 和 𝑒（1 < 𝑑, 𝑒 < 𝑎）的乘积。

• 如果素数 𝑝 有大于 1 的约数 𝑑，那么 𝑑 = 𝑝。

• 大于 1 的整数 𝑎 一定可以表示为素数的乘积。

• 对于合数 𝑎，一定存在素数 𝑝 ≤ √𝑎 使得 𝑝 ∣ 𝑎。

• 素数有无穷多个。

• 所有大于 3 的素数都可以表示为 6𝑛 ± 1 的形式。

算术基本定理

​ 算术基本引理：

​ 设 𝑝 是素数，$p|a_1{a}_2$，那么$p|a_1$和$p|a_2$至少有一个成立。

​ 算术基本引理是素数的本质属性，也是素数的真正定义。

​ 上文给出的素数定义，事实上叫做不可约数，素数是不可约数的子集。在一些整环中，不可约数和素数是两个不同的集合，在两集合不相等的整环中，算术基本定理不成立。由于整数范围内两个集合完全一致，因此可以不做区分。

​ 算术基本定理（唯一分解定理）：

​ 设正整数 𝑎，那么必有表示：

$$a=p_1{p}_2...p_s$$

其中$p_j(1\le j\le s)$是素数。并且在不计次序的意义下，该表示唯一。

标准素因数分解式：

将上述表示中，相同的素数合并，可得：

$$a=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}...p_s^{a_s},p_1<p_2<...<p_s$$

称为正整数 𝑎 的标准素因数分解式。

算术基本定理和算术基本引理，两个定理是等价的。

同余

​ 同余的定义：设整数 𝑚 ≠ 0。若 𝑚 ∣ (𝑎 − 𝑏)，称 𝑚 为模数（模），𝑎 同余于 𝑏 模 𝑚，𝑏 是 𝑎 对模 𝑚 的剩余。记作$a\equiv b(modm)$

​ 否则，𝑎 不同余于 𝑏 模 𝑚，𝑏 不是 𝑎 对模 𝑚 的剩余。记作 $a\not\equiv b(modm)$。

​ 这样的等式，称为模 𝑚 的同余式，简称同余式。

​ 根据整除的性质，上述同余式也等价于$a\equiv b(mod(-m))$.

​ 如果没有特别说明，模数总是正整数。

​ 式中的 𝑏 是 𝑎 对模 𝑚 的剩余，这个概念与余数完全一致。通过限定 𝑏 的范围，相应的有 𝑎 对模 𝑚 的最小非负剩余、绝对最小剩余、最小正剩余。

​ 同余的性质：

• 自反性： $a\equiv a(modm)$。

• 对称性：若 $a\equiv b(modm)$，则 $b\equiv a(modm)$。

• 传递性：若 $a\equiv b(modm)$, $b\equiv c(modm)$，则 $a\equiv c(modm)$。

• 线性运算：若 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ Z, 𝑚 ∈ N∗ , $a\equiv b(modm)$, $c\equiv d(modm)$ 则有：

​ – $a\pm c\equiv b\pm d(modm)$

​ – $a\times c\equiv b\times d(modm)$

• 若 𝑎, 𝑏 ∈ Z, 𝑘, 𝑚 ∈ N∗ , $a\equiv b(modm)$, 则 $ak\equiv bk(modmk)$。

• 若 𝑎, 𝑏 ∈ Z, 𝑑, 𝑚 ∈ N∗ , 𝑑 ∣ 𝑎, 𝑑 ∣ 𝑏, 𝑑 ∣ 𝑚，则当$a\equiv b(modm)$成立时，有$\frac{a}{d}\equiv \frac{b}{d}(mod\frac{m}{d})$。

• 若 𝑎, 𝑏 ∈ Z, 𝑑, 𝑚 ∈ N∗ , 𝑑 ∣ 𝑚，则当$a\equiv b(modm)$ 成立时，有$a\equiv b(modd)$。

• 若 𝑎, 𝑏 ∈ Z, 𝑑, 𝑚 ∈ N∗，则当$a\equiv b(modm)$成立时，有$gcd(a,m)=gcd(b,m)$。若 𝑑 能整除 𝑚 及 𝑎, 𝑏 中的一个，则 𝑑 必定能整除 𝑎, 𝑏 中的另一个。

还有性质是乘法逆元。

C/C++ 的整数除法和取模运算

​ 在 C/C++ 中，整数除法和取模运算，与数学上习惯的取模和除法不一致。

​ 对于所有标准版本的 C/C++，规定在整数除法中：

1. 当除数为 0 时，行为未定义；

2. 否则 $(a∕b)\ast b+a$ 的运算结果与 a 相等。

也就是说，取模运算的符号取决于除法如何取整；而除法如何取整，这是实现定义的（由编译器决定）。

从 C99 和 C++11 标准版本起，规定商向零取整（舍弃小数部分）；取模的符号即与被除数相同。从此以下运算结果保证为真：

5 % 3 == 2;

5 % -3 == 2;

-5 % 3 == -2;

-5 % -3 == -2.

数论函数

数论函数指定义域为正整数的函数。数论函数也可以视作一个数列。

积性函数

定义

​ 若函数$f(n)$满足$f(1)=1$ 且 ∀𝑥, 𝑦 ∈ N∗, $gcd(x,y)=1$ 都有$f(xy)=f(x)f(y)$，则$f(n)$为积性函数。

​ 若函数$f(n)$满足$f(1)=1$且 ∀𝑥, 𝑦 ∈ N∗ 都有$f(xy)=f(x)f(y)$，则$f(n)$为完全积性函数。

性质

若 𝑓(𝑥) 和 𝑔(𝑥) 均为积性函数，则以下函数也为积性函数：

$$\begin{gathered} h(x)=f(x^p) \\ h(x)=f^p(x) \\ h(x)=f(x)g(x) \\ h(x)=\sum _{d|x}f(d)g(\frac{x}{d}) \end{gathered}$$

设$x=\prod p_i^{k_i}$

若$F(x)$为积性函数，则有$F(x)=\prod F(p_i^{k_i})$。

若$F(x)$为完全积性函数，则有$F(x)=\prod F(p_i{)}^{k_i}$。

例子

• 单位函数：$ϵ(n)=[n=1]$。（完全积性）

• 恒等函数：$i{d}_k(n)=n^k$，$i{d}_1(n)$通常简记作$di(n)$。（完全积性）

• 常数函数：$1(n)=1$。（完全积性）

• 除数函数：${\sigma }_k(n)=\sum _{d|n}{d}^k$。${\sigma }_0(n)$通常简记作$d(n)$或$\tau (n)$，${\sigma }_1(n)$通常简记作$\sigma (n)$。

• 欧拉函数：$\phi (n)=\sum _{i=1}^n[gcd(i,n)==1]$

• 莫比乌斯函数：$\mu (n)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ 0& \mathrm{\exists }d>1,d^2|n,\\ (-1{)}^{w(n)}& otherwise\end{array}$ 其中 𝜔(𝑛) 表示 𝑛 的本质不同质因子个数，它是一个加性函数。