2025.4.14 NOI 模拟赛 题解

比赛

T1 NFLS #P1359. ハルカナホシノセカイへ

题意

给定 \(l_{1\sim n},s_{1\sim n},c_{1\sim n+m}\;(1\le l_i\le m)\)，选择 \(S\subseteq ([1,n]\cap\mathbb N)\)，使得 \(\forall u\in S,v\in S,u<v\;(l_u\ge l_v)\)，\(S\) 的代价为 \(\sum_{u\in S}s_u\)，\(S\) 的收益为按 \(u\in S\) 从小到大，把 \(l_u\) 插入初始为空的集合 \(T\) 的收益，其中把 \(l\) 插入 \(T\) 的收益为 \(c_l\)，若 \(l\in T\) 则删除 \(l\) 并把 \(l+1\) 插入 \(T\)，收益累加，求出 \(S\) 的收益减去代价的最大值，\(n,m\le2000\)

分析

令一个 \(l_u\) 的权值 \(2^{l_u}\)

考虑 \(dp\)，令 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\sim n\) 中选择了 \(i\) 且选择的 \(l\) 的权值总和除以 \(2^{l_u}\) 下取整为 \(j\) 的收益减去代价的最大值

令 \(\text{lw}(v)=\{k\mid v\bmod 2^k=2^k-1\}\)，令 \(\text{Wt}(b,S)=\sum_{x\in S} c_{b+x}\)，转移为

\[dp_{i,1}\gets c_{l_i}-s_i\\ dp_{i,o+1}\gets dp_{j,k}-s_i+\text{Wt}(l_i,\text{lw}(o))\;(j>i,l_j\le l_i,o=k>>(l_i-l_j)) \]

分讨 \(l_i-l_j\le \log_2(n)\) 和 \(l_i-l_j> \log_2(n)\) 然后分别前缀和优化，可做到 \(O(n^2\log^2 n+m)\)

代码

T2 NFLS #P26854. Yorugao \(\quad\) CF1510H Hard Optimization

T3 NFLS #P24564. Saint or Sinner \(\quad\) CF1060G Balls and Pockets

题意

一个无穷数列 \(p_{0\sim\infty}\)，初始 \(p_i=i\)，给定 \(a_{1\sim n}\)，\(q\) 次询问给定 \(x,k\)，表示对 \(p\) 进行 \(x\) 次操作后第 \(k\) 个位置的值，对 \(p\) 进行一次操作为删去 \(p_{a_i}\;(1\le i\le n)\) 然后把剩余部分拼起来，询问之间独立，\(n,q\le5\times10^5,a_i\le a_{i+1},\;k,x\le10^9\)

分析

先特判 \(x<a_1\) 的情况

令 \(\inf\) 为一个较大值（\(5\times 10^{14}\) 以上），则对于 \([\inf,\inf+n)\) 这 \(n\) 个点，进行若干次操作后它们把 \([a_1,\inf+n)\) 各覆盖恰好一次

对于 \([a_1,\inf+n)\) 中的每个点 \(x\)，将其编号 \(a_x\) 表示 \([\inf,\inf+n)\) 经过 \(a_x\) 次操作覆盖到了 \(x\)，将其染色 \(c_x\) 表示覆盖到 \(x\) 的是 \([\inf,\inf+n)\) 中的 \(\inf+x-1\)

则一次询问 \((x,k)\) 相当于查询 \((x,\inf+n)\) 中从小到大第 \(k\) 个和 \(x\) 同色的位置

考虑从 \(\inf\) 向左扫描，设目前的区间为 \([l,l+c)\)，还没有删去的数集为 \(S\)（实际数字为 \(\{u+\inf-1\mid u\in S\}\)），设已经操作了 \(t\) 次，初始令 \(l=\inf,c=n\)，\(S=[1,n]\cap\mathbb N\)，\(t=0\)

令 \(dt=\lceil\frac{l-a_c}c\rceil\)，\(ds=dt\times c\)，则对于每个 \(l-ds\le i<l\)，\(c_i\) 为 \(S\) 中第 \(((i-(l-ds))\bmod c)+1\) 小值，\(a_i=t+\lceil\frac{l-x}c\rceil\)

树状数组维护 \(S\)，一次扫描把 \((x,k)\) 转化为 \((a,c)\)，然后第二次扫描得到答案

时间复杂度 \(O(n\log n)\)

代码

参考

比赛结果

\(100+40+15\)，\(\text{rk}36\)