数学分析学习笔记
数学分析学习笔记
xs，选了微积分，学的却是数分。
如果有写的不对的地方烦请指正，有些地方简写了。
自然数
皮亚诺公理：
- 0 是自然数
- 如果 \(n\) 为自然数，那么 \(S(n)\) 为自然数，\(S(n)\) 为 n 的后继，亦可以理解为 \(n + 1\)。
- 不存在 \(n \in N, S(n) = 0\)。
- 如果 \(n,m \in N\) 并且 \(S(n) = S(m)\) 那么 \(n = m\)。
- 数学归纳法公理：对于 \(N\) 的子集 \(A\)，如果 \(0\) 属于集合 A，如果 \(n \in A\)，并且 \(S(n) \in A\)。那么 \(A = N\)。
加法定义：
加法结合律：\((n + m) + k = n + (m + k)\)。
证明：
归纳 \((n + m) + 0 = n + (m + 0) = n + m\)。
若 \((n + m) + k = n + (m + k)\)。
有 \((n + m) + S(k)=S((n + m) + k)=S(n + (m + k))=n + S(m + k)=n +(m + S(k))\)
证毕。
引理：\(0 + n = n\)
证明：归纳法 \(0 + 0 = 0\)。若 \(0 + k = k\)，那么 \(0 + S(k) = S(0 + k) = S(k)\)。
引理：\(S(k) + n =S(k + n)\)
证明：\(S(k) + 0 = S(k + 0) = S(k)\)。
\(S(k) + S(n) = S(S(k) + n)=S(S(k + n))=S(k + S(n))\)。
加法交换律：\(n + m = m + n\)
归纳：\(n + 0 = 0 + n = n\)，若 \(n + k = k + n\)，则 \(n + S(k) = S(k) + n\)。
证明：
\(n + S(k) = S(n + k) = S(k + n) = S(k) + n\)。
加法消去律：\(a + b=b+c \to a=c\)
归纳：\(a + 0 = 0+c\Leftrightarrow a = c\)，\(a+S(k)=S(k)+c\Leftrightarrow S(a + k)=S(k+c)\Leftrightarrow a + k=k+c \Leftrightarrow a=c\)
乘法定义：
引理：\(a\times 0=0 \times a\)
归纳：\(0 \times0 =0\)，\(0 \times S(k) = 0\times k + 0=0\)。
引理：\(a \times b+b = S(a) \times b\)
归纳：\(b = 0\)，\(a \times S(b) + S(b)=a \times b + a + S(b)=S(a \times b+b)+a=S(a)\times b+S(a)=S(a)\times S(b)\)
乘法交换律：\(ab=ba\)
归纳：\(a \times 0 = 0 \times a\)，\(a \times S(k) = a \times k + a=k \times a + a = S(k) \times a\)
乘法分配律：\(a(b+c)=ab+ac\)
归纳：\(a \times (b + 0) = ab\)，\(a(b+S(c))=aS(b+c)=a(b+c)+a=ab+ac+a=ab+aS(c)\)
乘法结合律：\((nm)k = n(mk)\)
证明：
\(nm0=n(m0)=0\)，如果 \(nmk=n(mk)\)，那么 \(nmS(k)=n(mS(k))\)。
\(nmS(k)=nmk+nm=n(mk+m)=n(mS(k))\)
定义正整数：\(N \setminus \set 0\)
序：对于两个自然数 \(n,m\) 定义 \(n > m\) 当且仅当存在正整数 \(k\) 使得 \(m + k = n\)。\(n \ge m\) 存在自然数。
序的性质：
- 自反性 \(a \ge a\)
- 传递性 \(a \ge b \ge c\)
- 反对称性 \(a \ge b,b \ge a \to a=b\)
- 加法不影响序 \(a \ge b \to a + c \ge b + c\)
- 乘法不影响序 \(a > b \and c \neq 0 \to ac > bc\)
都很好证明
定理：对于 \(a,b\) 必有 \(a < b\)，\(a = b\)，\(a > b\) 其中之一成立。
乘法消去律：\(ac=bc \and c \neq 0\to a=b\)。由于 \(a,b\) 之间存在序，乘法保持序不变，所以 \(a = b\)。
带余除法： 对于自然数 a 和正整数 b 存在 k，r 满足 \(a = kb +r\quad (b > 0,0 \le r < b)\)
对 n 归纳即可。
整数
形式定义 \(a - b\) 来得到的
有理数
形式定义 \(a / b\) 来得到的。
域
域是一个集合 F，具备加法和乘法两种运算，满足：
加法和乘法具有交换律和结合律，分配律，并分别有单位元 0，1，且 \(1 \neq 0\)。
对任意 \(x \in F\)，存在加法逆元 \(-x \in F\)，\(x + (-x)=0\)
对 \(\forall x \in F \setminus \{x\}\)，存在乘法逆元 \(x^{-1} \in F\) 使得 \(x \times x^{-1}=1\)
所以一个域上进行加减乘除
序域
当域撞上序关系。
对于任意 \(x, y \in F\)，\(x \le y, y \le x\) 至少有一个成立。
满足自反，传递，反对称性。对（正数）乘法和加法保序。
界
设 F 是一个序域，设 A 是 F 的一个子集。
称 A 有界，如果存在 \(M \in F\) 满足 \(x \in A \to |x| \le M\)。
上下界不再给出定义，注意空集的界是任意的。
注意：有界代表着有上下界
最值与确界
\(\max \min \sup \inf\) 最大值，最小值，上确界，下确界。
当存在最大值时上确界就等于最大值，所以上确界是最大值不存在时的替代品，比如区间 \((2,3)\) 没有最大值，但有上确界。
一个例子
\(A = \{x \in \Q \mid x^2 \le 2\}\)
结论：有界，无上确界（在 Q 中）。
实数域
公理：任何非空有上界的子集都有上确界的序域。
定理：\(\N\) 在 \(\R\) 中无上界。
证明：若 B 是上界，B - 1 则不是，一定有 \(A \in \N > B - 1\)，那么 \(A + 1 \in N >B\) 矛盾。
上下取整的定义：
有理数在实数中稠密
对任意实数 a < b，存在有理数 r 使得 a < r < b。
证明想法：将 a，b 在数轴上画出来，一定存在巨大的自然数 N 使得 \(a,b \in [-N,N]\)。将这个区间划分成 \(2N^2\) 份，每份长度 \(\frac 1N\)，满足这个长度比 \(b - a\) 要小，这样假设有个人从左端点开始，每次走一份路，第一次大于 a 的位置，不会大于 \(a + \frac 1N\)，小于 b。形式化的写一下即可。
无理数在实数中稠密
对任意实数 a < b，存在无理数 r 使得 a < r < b。
因为存在有理数 t 使得 \(a - \sqrt 2<t<b-\sqrt 2\)。令 \(r = t + \sqrt2\) 即可。
确界公理应用：开方
对于正整数 n 和正数 y，存在唯一正数 x 使得 \(x^n=y\)。
证明：
如果存在，肯定唯一，因为是序域。
现在我们来证明存在，在上面我们说了 \(A = \{x \in \Q \mid x^2 \le 2\}\) 中是上确界，但有上界。
同理，我们设 \(A = \{x \in R \mid x^n < y\}\)，可以证明它的上确界就是 \(\sqrt[n]{y}\)。具体证明使用放缩法。
一个放缩技巧 (0 < b < 1)：
