高中数学竞赛培优教程 · 一试阅读笔记

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闲的没事学点数学，叫阅读笔记主要是因为看了很多答案（

§ 0.1 实数基本知识

例 5

求证：\(\tan 3\degree\) 为无理数。

证明：

​ 有理数运算具有封闭性。由二倍角公式得 \(\tan 6 \degree = \frac{2 \tan 3 \degree}{1-\tan ^2 3 \degree }\)，是有理数。同理 \(\tan 12 \degree, \tan 24 \degree\) 也是有理数。和差角公式得 \(\tan(24 + 6)\degree = \tan 30 \degree\) 也是有理数，但 \(\tan 30 \degree = \frac {\sqrt3}3\)，矛盾。

赛题演练-9

设 \(a, b, c\) 为正有理数，且 \(a + \frac 1{bc},b + \frac{1}{ac}, c + \frac{1}{ab}\) 都是正整数，求 \(a + b + c\) 的值。

解：

​ 简单整理得 \(a(1 + \frac 1{abc}) \in \Z\)，设 \(a = \frac {a_1}{a_2}(a_1,a_2 \in \Z,\gcd(a_1,a_2)=1)\)，有 \(a_1(1 + \frac1{abc}) \in \Z\)。同理有 \(b_1(1+\frac 1{abc}) \in \Z\)，\(c_1(1+\frac 1{abc}) \in \Z\)。

​ 设 \(m = \gcd(a_1,b_1,c_1)\)，由裴蜀定理得 \(m(1+\frac 1{abc}) \in \Z\)。若有 \(m \ge 2\)，应满足 \(\frac{ma_2b_2c_2}{a_1b_1c_1} \in \Z\)，因为 \(m^3 \mid a_1b_1c_1\)，且 \(m \nmid a_2b_2c_2\)，矛盾。所以有 \(m = 1\)。

​ 所以 \(\frac 1{abc} \in \Z\)，不妨设 \(\frac 1{abc} = n\)，有 \(a(1 + \frac 1{abc})\times b(1 + \frac 1{abc}) \times c(1 + \frac 1{abc}) \in \Z\)，整理得 \(\frac{(n + 1)^3}{n} \in \Z\)，由于 \((n,n + 1) = 1\)，所以有 \(n = 1\)，带入得 \((2a)\times(2b)\times(2c)=8\)。由于 \(2a,2b,2c\) 都是整数，所以简单讨论记得得到 \(a + b + c = 3,\frac 72, 5\)

§ 0.2 方程（组）

例 2

已知 \(\alpha,\beta \in \R\)，直线 \(\large \frac x{\sin \alpha+\sin\beta}+\frac{x}{\sin \alpha+\cos \beta}=1\) 和直线 \(\large \frac x{\cos \alpha+\sin\beta}+\frac{x}{\cos \alpha+\cos \beta}=1\) 的交点在直线 \(y = -x\) 上，求 \(\sin \alpha+\cos \alpha+ \sin \beta + \cos \beta\) 的值。

解：

​ 设两直线交点为 \((x_0, -x_0)\)，且 \(\sin \alpha,\cos \alpha\) 为方程 \(\frac{x_0}{t+\sin \beta}+\frac{-x_0}{t+\cos \beta}=1\) 的两个根。由韦达定理得 \(\sin \alpha + \cos \alpha = -\cos \beta-\sin \beta\)。

例 3

解方程 \(2x^4+3x^2-16x^2+3x+2=0\)。

解：

​ 注意到系数对称，并且 \(x \neq 0\)，两边同除 \(x^2\) 得 \(2(x^2+\frac 1{x^2})+3(x+\frac 1x)-16=0\)。设 \(y = x + \frac 1x\)，\(x^2+\frac 1{x^2}+2=y^2\)，可以先解 \(y\)，然后求解 \(x\)。