线性基求交

线性基求交

学习了 https://www.cnblogs.com/yuanquming/p/11260668.html

感觉线性代数的性质还是很奇妙呀

给定两个线性空间，或者是两个基 \(B_1, B_2\)，求两个线性空间的交

来个引理：令 \(W = V_1 \cap B_2\)，若 \(B_1 \cup (B_2 \setminus W)\) 线性无关，那么 \(W\) 是 \(V_1\cap V_2\) 的一组基

首先 W 张成的线性空间不会比 \(V_1\cap V_2\) 大。如果对于两个交集的元素 v，不可以被 W 表出，那么就会被 W 和 \(B_2 \setminus W\) 一起表出，那么一定就会出现 \(B_1 \cup (B_2 \setminus W)\) 线性相关。证毕。

我们现在考虑做法，正常求交很有可能不满足条件，所以我们考虑动态对第二个基进行调整。

我们一个一个处理 \(B_2\)，现在基里面有 $B_1 \cup B'_2 $，加入元素 x，如果线性无关，那么直接加入，否则用 \(B'_2\) 来异或 x，使得 x 和 \(B_1\) 线性相关而和 \(B'_2\) 线性无关，那么就可以加到 W 里面去了。