我卷我自己加强

我卷我自己加强

zbk 学长提出了一个卷积的问题并分别以 \(\Theta(n \log ^2n)\) 和 \(\Theta(n\log n)\) 的复杂度解决，这里给出 \(\Theta(n)\) 解法

对于 \(f_0 = 0, f_1 = 1, f_2 = 1,f_n=\sum_{i=0}^{n-1}f_if_{n-i-1}\)，快速求解 \(f_n\)

首先容易列出生成函数的方程

\[F = xF^2+x^2+x\\ F = \frac{1-\sqrt{-4x^3-4x^2+1}}{2x} \]

上面的根号直接 \(\Theta(4n)\) 计算即可，然后整体左移。