Hall 定理

Hall 定理

之前只记了 hall 定理的结论,这里来做一下证明

结论

左部点大小 \(|X|\) 右部点大小 \(|Y|\),满足 \(|X| \le |Y|\)

最大匹配即为 \(|X|-\max_{s \subseteq X}{(|S|-|to_s|, 0)}\)

有最大匹配时即为任意一个子集出发的邻点个数大于等于本身

证明

必要性显然,来证充分性

如果没有完美匹配,找到左部点里一个没有匹配的点 x,它一定可以找到一条出边,如果右部图的那个点 y 没有匹配,显然答案加一。否则 y 找到和它匹配的那个点 tx,断掉匹配,重新和 x 匹配。根据 Hall 定理,两点对一点是不存在的,所以 tx 还可以找到另外一个出边。一直找下去,直到这个集合里有了 n 个点,第 n 个点一定能找到另外一个没有匹配的点。证毕。

posted @ 2020-09-28 20:29  Hs-black  阅读(428)  评论(0编辑  收藏  举报