拉格朗日插值

拉格朗日插值

活力这么就，才知道自己不会拉格朗日插值。

求多项式在某处的点值

\[f(x_0)=\sum_{i=1}^{n+1}(y_i\prod_{j\neq i}\frac {x_0-x_j}{x_i-x_j}) \]

这个貌似很简单，不再赘述。证明就是 n + 1 个点唯一确定一个 n 次多项式，那么这个多项式唯一。

求多项式的完整系数

\[f(x)=\sum_{i=1}^{n+1}(y_i\prod_{j\neq i}\frac {x-x_j}{x_i-x_j}) \]

直接把 \(x_0\) 变成 \(x\) 即可。对每个都 i 求一遍，暴力展成系数，然后再直接带入即可。但是复杂度大失败 \(\Theta(n^3)\) 。

我们有更优的解法，首先容易发现一堆常数 \(y_i\prod _{j \neq i}\frac {1}{x_i-x_j}\)，然后考虑上面的那个式子即可。

先把 \(f(1)\) 求出来，考虑转移 \(f(i)=\frac {(x-x_{i-1})f(i-1)}{x-x_i}\)，这样就可以快速转移了。

挺好的，吊打高斯消元。