CF1392H ZS Shuffles Cards(概率)
CF1392H ZS Shuffles Cards(概率)
题目大意
有 \(n + m\) 张不同的牌，其中有 n 张牌是编号 \(1 \to n\) 的，剩下的 m 张牌是鬼牌，但有标号。
现在我们对牌随机打乱以后做如下两个操作，且每个操作耗时 1：
如果牌顶不是鬼牌，那么把牌顶的牌的编号加入集合 s，然后把牌放到一边
如果第一张牌是鬼牌，那么先看看集合 s 是不是包含 1 到 n 的所有元素，如果是就结束游戏，否则随机打乱所有的牌（包括之前放到一边的牌），继续游戏。
求游戏结束的期望时间
数据范围
解题思路
官方题解是个大麻烦思路，但评论区里有神仙给出了神奇而简洁的做法，下面简单介绍一下
首先你发现即使你已经凑够了 n 个元素，但没有抽到鬼牌仍不能结束游戏，而我们可以求出一次洗牌操作次数的期望值，然后求出期望下洗牌多少次即可
先求出操作次数的期望，对于每一张牌放到第一张鬼牌的前面的概率是 \(\frac {1}{m+1}\)，因此总共的期望就是 \(\frac n{m+1}+1\)
考虑期望下洗牌多少次，正着不好做？我们用 \(min-max\) 容斥，答案就是 \(\sum_{i=1}^n{n \choose i}(-1)^{i+1}g_i\)，\(g_i\) 表示抽到第一张的期望次数
显然有 \(g_i = \sum_{j=0}[tim > j] = \sum_{j=0}(\frac {m}{m+i})^j=\frac {m+i}{i}\)， 答案也可以轻松算出了
但正着真的不好做吗？神仙给出了更简洁的做法，设 \(f_i\) 表示还要凑 n 个的期望次数
如果本次没捞着，那么期望是 \(\frac {m}{m + i} \times f_i + 1\)，否则就是 \(\frac {i}{m+i} \times f_{i-1}\)
化简方程得到 \(f_i= \frac {m}{i} + f_{i-1}\) 边界条件是 \(f_0 = 1\)，得到 \(f_n = \sum_{i=1}^n\frac 1i\)
最后的一个问题就是为什么 \(\sum_{i=1}^n \frac 1i = \sum_{i=1}^n {n \choose i} (-1)^{i+1}\frac {1}{i}\)
这个问题是上面正推和倒推的两个式子的化简形式，请教了 ztb 学长，可以用数学归纳法证明，但 ei 说有积分证明的方法，我不是很会，路过的大佬可以教教我 😁
