DFT 两次变一次

DFT 两次变一次

从网上翻了翻，发现写的不是很详细或者公式不是很严谨，这里再来推一遍

设

\[A(x)=f(x)+ig(x)\\ B(x)=f(x)-ig(x)\\ \]

由于 dft 是线性变化

\[dft(f)=\frac{dft(A)+dft(B)}{2}\\ dft(g)=-i\times\frac{dft(A)-dft(B)}{2} \]

现在假设我们已经推出了 \(dft(A)\) 现在导出 \(dft(B)\)

\[\large dft(A_k)=\sum_{j=0}^{L-1}f_jw_{L}^{kj}+ig_jw_{L}^{kj}\\ \]

设 \(p = (L-k)\)

下面 conj 表示共轭复数，共轭复数是实部不变，虚部取反的复数

\[\large dft(B_p)=\sum_{j=0}^{L-1}f_jw_{L}^{pj}-ig_jw_{L}^{pj}\\ \large =\sum_{j=0}^{L-1}(f_j-ig_j)(\cos(p)+i\sin(p))\\ \large =\sum_{j=0}^{L-1}(f_j\cos(p)+g_j\sin(p))-i(f_j\sin (p)-g_j\cos(p))\\ \large = (conj)\sum_{j=0}^{L-1}(f_j\cos(p)+g_j\sin(p))-i(f_j\sin (p)-g_j\sin(p))\\ \large = (conj)\sum_{j=0}^{L-1}(f_j+ig_j)(\cos(-p)+i\sin(-p)) \large = (conj)\sum_{j=0}^{L-1}(f_j+ig_j)w_{L}^{kj} \]

推完了 😀