NOIAC挑战赛部分题解

NOIAC挑战赛部分题解

T1

http://noi.ac/contest/351/problem/2016

题目描述

小 H 开了一家工厂，工厂有 \(n\) 个工人和 \(p\) 条流水线。第 \(i\) 个工人只会在 \(s_i\) 到 \(t_i\) 的时刻工作。
每个工人都会被分派到一条流水线上，然而，一条流水线只会在这条线的工人到齐时才能开工，其余时间即使有部分工人到了也只能休息。
由于工厂老板是黑心老板，所以不能有流水线的工作时间为 \(0\)，也不能有工人没被分派到流水线上（即使这样会降低实际工作时间）。
在上面的条件下，黑心老板想让所有流水线的开工时间之和最长，但是他不会算，所以他想请你求出能得到的最大的工作时间总和。

数据范围

对于所有数据满足 \(1\le p\le n\le 200,0\le s_i\le t_i\le 10^5\)。

解题思路

其实这题有想到

显然如果两个区间存在包含关系可以直接把小区间留下，大区间扔到一边去，因为小区间和大区间同时存在时，大区间无法发挥作用，大区间如果和别的区间一组时会对别人有限制，而和小区间不会，综上所述，大区间要么单独一个流水线，要么和被包含的区间一个流水线

然后考虑所有相交但不包含的区间，直接排个序 + dp 即可

T2

题目大意

小 D 在玩一款角色扮演游戏，通过前期的打怪，他现在得到了 \(k\) 个不同的装备。
众所周知，角色扮演游戏中常常有复杂的人物属性，在这款游戏中，小 D 一共有 \(n\) 种不同的属性，而每件装备都会都对这 \(n\) 种属性有不同buff效果。
今天，小 D 走到一家铁匠铺里去合成装备。他每次可以将两个装备合成一个标号为 \(m + 1\)（\(m\) 为当前装备个数）的新装备（原来的两个装备不会消失），但是由于小 D 锻造技术不高，所以合成有可能成功也有可能失败。如果合成成功，他会得到一个新装备，而新装备的各项属性的buff是两个装备对应属性的\(\max\)，而如果合成失败，他会得到一个新装备，新装备的各项属性的buff是两个装备对应属性的\(\min\)。

\(1\) \(x\) \(y\) ： 表示小 D 将第 \(x\) 和第 \(y\) 个装备合成了，并且合成成功。
\(2\) \(x\) \(y\) ： 表示小 D 将第 \(x\) 和第 \(y\) 个装备合成了，并且合成失败。
\(3\) \(x\) \(y\) ： 小 D 想知道第 \(x\) 装备的第 \(y\) 项属性的buff是多少。

数据范围

对于 \(100\%\) 的数据，满足 \(1\le n, q\le 10^5, k \le 12, 1\le a_{ij} \le 10^9\)。

解题思路

好神奇的思路？！发现 k 特别小？

设一个集合的集合，即集族

\[Ans(j) = \max_S(\min_{i\in S}a_{ij}) \]

一开始第 k 个装备的集族是所有包含 k 的小集合，这时肯定是对的，min 的时候一定可以取到 k 且小于等于 k

考虑一操作就是两个集族取并，二操作就是两个集族取交

考虑这样为什么是对的，取并是包含两个旧集族的任意元素都行，取交代表一定两个集族的元素同时出现才行

直接手玩一下会更好理解

乱搞题

http://noi.ac/contest/356/problem/2029

题目大意

完美二叉树是指，最深一层的所有节点没有孩子，其余所有节点均有两个孩子的二叉树。
将一棵高度不超过 \(h\) 的树扩充到高度 \(h\) 是指，将这棵树（通过添加缺失的孩子）补充为高度为 \(h\) 的完美二叉树，此过程中新创建的节点权值均为 0。
一棵完美二叉树上某个节点的关键值是指，如果该节点的权值非 0，则该点的关键值就等于该点的权值，否则该点的关键值等于该点父亲节点的关键值。因为根节点的权值不为 0，所以任意节点的关键值都是明确定义的。
一棵完美二叉树的关键值序列是指，从左到右考虑该树最深一层的所有节点，依次求出这些节点的关键值，将这些值按顺序排成一个序列。
判断两棵树是否等价的方法是，设这两棵树的高度较大者为 \(h\)，分别将这两棵树扩充到高度 \(h\)，得到的两棵高度为 \(h\) 的完美二叉树的关键值序列如果完全相同，则两棵树等价，否则两棵树不等价。

数据范围

\[1 \le n \le 10^5 \]

解题思路

是乱搞题又很有趣

为了方便我们把它所有的节点都补满（都获得左右儿子，权值和父亲相同），这样答案显然不会变

设计 dp，\(dp[x][y]\) 表示在 \(x\) 节点，由祖先继承过来的权值是 \(y\) 的最小代价是多少

在叶子节点有 \(dp[x][y] = (val[x] \neq y)\)

非叶子节点有 \(dp[x][y] = \min((y \neq k) + dp[ls][k]+dp[rs][k])\)

另外一个性质是显然一个节点的 dp 值中的最大值最小值不超过一

据此我们用线段树合并来维护（或许可以成为整体 dp）x 节点 dp 最小值的位置（设为 1），两个节点合并起来显然就是取并，如果并集为空那么就是取交，同时维护一下 dp 最小值是多少即可