困难的生成函数练习题

困难的生成函数练习题

题目描述

试证明

\[\large{\sum_{i=1}^kS_2(k,i)*i!*(x-1)^{i-1}}\\ \large{=\sum_{i=1}^k(-1)^{k-i}S_2(k,i)*i!*x^{i-1}} \]

解题思路

Orz EI && zbk

先扔几个公式

\[\sum_{i=0}S_2(i, n)*\frac {x^i}{i!}=\frac {(e^x-1)^n}{n!}\\ \sum_{i=0}(-1)^{n-i}S_2(i,n)*\frac {x^i}{i!}=\frac {(1-e^{-x})^n}{n!}\\ \sum_{i=0}q^ix^i = \frac {1}{1-qx} \]

下面让我们愉快的推导吧

\[\sum_{i=1}^kS_2(k,i)*i!*(x-1)^{i-1}\\ =\left[\frac {x^k}{k!} \right]\frac {e^x-1}{1-(x-1)(e^x-1)}\\ =\left[\frac {x^k}{k!} \right]\frac {1 - e^{-x}}{e^{-x}-(x-1)(1-e^{-x})}\\ =\left[\frac {x^k}{k!} \right]\frac {1-e^{-x}}{1-x(1-e^{-x})}\\ =\sum_{i=1}^k(-1)^{k-i}S_2(k,i)*i!*x^{i-1} \]

这是 EI 大佬的神仙证明

下面的话是对像我这样生成函数初学者说的，大佬请自行跳过

蛤？你第一步就没看懂？！（反正我没看懂/kk）

这里来个解释详细一些的

先考虑

\[\sum_{i=1}S_2(k,i)*i! \]

生成函数如何表示

根据第一个公式，有

\[S_2(k,i) *\frac 1{k!}= \left[x^k \right]\frac {(e^x-1)^i}{i!}\\ \frac 1{k!}S_2(k,i) * i!= \left[x^k \right] {(e^x-1)^i}\\ \sum_{i=0}S_2(k,i)*i!=k!*\sum_{i=0}\left[x^k \right] {(e^x-1)^i}\\ \]

再应用第二个公式，有

\[\sum_{i=1}S_2(k,i)*i!*(x-1)^{i-1}\\ =k!\sum_{i=1}\left[x^k \right] {(e^x-1)^i*(x-1)^{i-1}}\\ =k!(e^x-1)\sum_{i=0}\left[x^k \right] {(e^x-1)^i*(x-1)^{i}}\\ \frac{k!(e^x-1)}{1-(x-1)(e^x-1)}\\ \]

最后一步同理可证

话说 EI 神仙怎么那么熟练啊QAQ