洛谷P5576 [CmdOI2019]口头禅(字符串)
洛谷P5576 [CmdOI2019]口头禅(字符串)
题目描述
蒟蒻出题人收集了某位大佬的\(n\)条语录,并按照时间排序,编号为\(1...n\)。
他发现这位大佬的口头禅是随着时间而变化的,而且里面有些看不懂的内容。
在请教了群DS带师之后,他得到了某种hash方法,把这些语录都变成了01串,这样好懂一些。
为了研究水群的奥秘,他进行了多次询问:\([l,r]\)之间的所有语录,最长公共子串的长度是多少?
数据范围
| subtask编号 | n | m | 语录总长 | 分值 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 50 | 50 | 500 | 10 |
| 2 | 50 | 50 | 80000 | 15 |
| 3 | 2000 | 10000 | 160000 | 15 |
| 4 | 20000 | \(10^5\) | 400000 | 15 |
| 5 | 20000 | \(10^5\) | 400000 | 45 |
对于subtask4 : 语录生成后,之间的顺序经过随机打乱。
对于subtask5 : 空间限制为50Mb,其他的数据为500Mb
解题思路
后缀自动机
首先先膜出题人 @command_block
很神奇的思路
首先要会用后缀自动机来求多串的最长公共字串
两个做法，一个是对一个字符串建后缀自动机，然后将其他串在上面打标记，记录匹配到节点 x 的最长长度是多少，另一个方法是选一个字符串 S，剩下的分别建后缀自动机，然后这个字符串分别在其他串上跑，记录 \(f[x]\) 表示 S[1...x] 能够匹配的最长后缀是多少。本题两种方法均可。
那么神仙的分治就来了
倍增分治
对于一个区间，将长度小于等于 \(2^x\) 的串提出来进行分治，直到子区间没有这样的串为止，这时候我们 ++x 继续此过程
显然我们有一个 x 最大深度是 \(\log N\) 的，又一共有 \(\log N\) 个 x，总分治深度是 \(\log^2 N\)，但实际上并跑不满
为什么要这么分治，显然我们使用后缀自动机时选出的字符串大小越小越好，这样我们才能方便的记录前缀信息和后缀信息，否则空间都开不下
询问答案
考虑跨过区间 mid 的答案，记录从 mid 开始的前缀 f 和后缀 f，查询时合并答案即可
时间复杂度证明
考虑区间字符串长度总和为 len，区间长度为 k，最小的串长度则不超过 \(\frac {len}k\)
扫一遍此区间的复杂度为 \(\Theta(k * \frac {len}k) = \Theta(len)\)，所以分治扫所有的区间记录前缀后缀时间复杂度是 \(\Theta(len\log^2N)\)
如果串长小于 \(\frac {len}{\sqrt m}\)，有复杂度 \(\Theta(len\sqrt m)\)
如果串长大于 \(\frac {len}{\sqrt m}\) 则无法保证复杂度，但很好的发现 k 小于 \(\sqrt m\)，想一想，为什么，也就是本质不同区间有 \(k^2\) 个，记忆化一下可以得到 \(\Theta(m\log m+k^2*\frac {len}{k}) = \Theta(m\log m+len*k)\)
代码就先不放了
另一种思路-SA做法
这题 SA 被卡空间了，所以我懒了还没有写，但不妨作为一种启发，如果有 dalao 发现了什么问题欢迎来踩和讨论，毕竟我只是口胡
感谢 @z7z_eta 的帮助
SA求多串最长公共子串
看到这题你应该有些基础，我就稍微简略些吧
将所有串首尾相连拼起来求 SA 数组，将 height 数组看成隔板，从大到小拆，直到所有串的后缀均在某一个区间内出现，这个 height 就是答案
如何看所有串均出现在某一个区间呢
set 启发式合并
每个位置开个 set，维护当前联通块的 “颜色” （每个原串是一种颜色）集合，当然我们维护区间会好一些，比如 2，3，4，5 颜色可以直接压成 [2，5]，在用上启发式合并就可以 \(\Theta(N\log^2N)\) 的维护了，注意启发式合并时不要看 set 的 size 而是颜色的个数
在本题中可以发现如果颜色区间 [l, r] 被某一次包含就是答案了，问题又来了，如何看 [l, r] 最早什么时候被包含呢
扫描线
不妨将区间看成二维平面上的点 （L, R)，那么在 set 中合并时比如有 \([1, 3], [5,6]\)，这时新插入一个区间 \([4,4]\)，会使 set 中的区间融合 \([1,6]\)，那么新的大区间所包含的所有小区间答案和当前的答案取 max 就行了，那么 \([1, 6]\) 可以看成二维平面上的一个矩形 \([1,6],[1,6]\)，对里面的点取 max 即可，发现所有的点都在 \(y = x\) 的上方，矩形可以换成 \([1,+\infty],[-\infty,6]\)，这样扫描线加树状数组即可维护，单独是 \(\Theta(n\log n)\) 的，但事实上启发式合并会产生 \(\Theta(n\log n)\) 个矩形，所以总复杂度 \(\Theta(n \log^2n)\)
时间复杂度 \(\Theta(len\log len+len\log^2 n+n \log^2 n)\)，空间复杂度 \(\Theta(n \log n)\)
这个做法比较好想，但应该没有 sam 快，但那个太难想了啊
