三元环&四元环计数

三元环计数

求出无向图三元环和四元环的个数

做法

将图中的所有边按照度数由大向小定向变成有向图，然后枚举一个点 u 和它的所有出边到的点 v 并标记，再枚举 v 的出边到的点 w，如果也有标记则表示找到了一个三元环，时间复杂度为 \(\Theta(m\sqrt m)\)，很容易证明一个三元环只会被枚举一次

时间复杂度证明

网上有好多证明都是错的，搞了半天才搞懂

以下分析不带常数，比如用 \(\sqrt m\) 代替 \(\sqrt {2m}\)

考虑每个点对答案的贡献，即有若干条入边枚举到它，然后再枚举它的所有出边，也就是 \(in_x*out_x\)，由于是度数从大向小连的边，所以 \(in_x \le \sqrt m\)，为什么呢，考虑如果 \(in_x > \sqrt m\)，那么它有至少 \(\sqrt m\) 条边，而连向它的点的度数都大于它的度数，而最多只可能有 \(\sqrt m\) 个度数大于 \(\sqrt m\) 的点，所以矛盾。因此总时间复杂度是 \(\Theta(\sqrt m*m)=\Theta(m\sqrt m)\) 的

同理如果从度数小的连向度数大的，那么 \(out_x \le \sqrt m\)，读者可自证

四元环计数

做法

与三元环有些区别在于这里既要用到定向后的有向边，也要用到没有定向的无向边

下文无向边指原图中的边，出边和入边指有向图的边

将图中所有的边按度数由大到小定向变成有向图，然后枚举一个点 u 和它的所有出边到的点 v ，然后枚举 v 的无向边到的点 w，其中要求 w 的度数要小于 u，时间复杂度仍然为 \(\Theta(m\sqrt m)\)，每个四元环只会在其最大度数点对面的位置被统计一次

时间复杂度证明

仍然考虑一个点对复杂度的贡献，首先它被 \(in_x\) 条边枚举到，然后遍历它所有的 \(deg_x\) 条无向边，也就是 \(in_x * deg_x\)，同三元环的证明，\(in_x\) 不会超过 \(\sqrt m\)，复杂度得证

那么从小向大连当然也是可以的，但 u 要先枚举无向边，然后再枚举有向边即可