P1829 [国家集训队]Crash的数字表格（莫比乌斯反演）

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题目描述

求

\[\large\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mlcm(i, j) \]

数据范围

\(n,m\leq 10^7\)

解题思路

设 \(n \le m\)

\[\large\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mlcm(i, j)\\ \large=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m ij*\gcd(i,j)^{-1}\\ \large=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{\frac nd}i\sum_{j=1}^{\frac md} j[\gcd(i,j)=1]\\ \large=\sum_{d=1}^nd\sum_{k=1}^{\frac n{d}}\mu(k)*k^2\sum_{i=1}^{\frac n{kd}}i\sum_{j=1}^{\frac m{kd}} j\\ \large=\sum_{d=1}^nd*Sum(\frac nd,\frac md)\\ \large Sum(n, m) = \sum_{i=1}^n\mu(i)*i^2\sum_{j=1}^{\frac ni}\sum_{k=1}^{\frac mi}ij \]

两个整除分块即可，时间复杂度 \(\Theta(n)\)