洛谷 重返现世(min-max+动态规划)

洛谷 重返现世(min-max+动态规划)

题目描述

为了打开返回现世的大门，Yopilla 需要制作开启大门的钥匙。Yopilla 所在的迷失大陆有 \(n\) 种原料，只需要集齐任意 \(k\) 种，就可以开始制作。

Yopilla 来到了迷失大陆的核心地域。每个单位时间，这片地域就会随机生成一种原料。每种原料被生成的概率是不同的，第 \(i\) 种原料被生成的概率是 \(\frac{p_i}{m}\) 。如果 Yopilla 没有这种原料，那么就可以进行收集。

Yopilla 急于知道，他收集到任意 \(k\) 种原料的期望时间，答案对 \(998244353\) 取模。

数据范围

对于 \(10 \%\) 的数据，\(p_1 = p_2 = ... = p_m\) 。

对于另外 \(10 \%\) 的数据，\(k = n\) 。

对于 \(70 \%\) 的数据，\(n \le 100\) 。

对于 \(100 \%\) 的数据，\(1 \le n \le 1000\) ，\(1 \le k \le n, \lvert n - k \rvert \le 10\) ，\(0 \le p_i \le m, \sum p = m, 1 \le m \le 10000\)

解题思路

min-max容斥及其扩展形式, 证明可以用容斥系数加二项式反演证明

\[max(S) = \sum _{s \in S} (-1)^{|s|+1}min(s)\\ kmax(S) = \sum_{s \in S} {|s|-1\choose k-1}(-1)^{|s|-k}min(s) \]

\[kmax(S) = \sum_{i=k}^n (-1)^{i-k}{i-1 \choose k-1}\frac m{Sm}\\ \]

可以直接背包来算, 是 \(\Theta(n^2m)\) 的

这样下去不行，换一种跟 k 相关的神仙思路

\(f[i][j][k]\) 表示前 i 种物品，概率和为 j，\(\sum_{i=k}^n (-1)^{i-k}{i-1 \choose k-1}\) 的值

\[f[i][j][k] = f[i-1][j][k] + f[i-1][j-p][k-1] - f[i-1][j-p][k]\\ \]

由于组合数的性质 ${n \choose m} = {n-1 \choose m} + {n-1 \choose m-1} $ 和 每次转移都要乘上个负数得知上式

注意初值的设置

以下引用 ouuan 巨佬的解释

\(f_{i,0,0}\) 按定义计算结果为 \(0\)。
需要特殊处理的不是 \(f_{i,0,0}\)，而是枚举 \(T\subseteq S\) 时没有枚举空集，所以当 \(j=p_i\) 时转移会出错。解决方法是 \(f_{i,p_i,k}\) 的包含 \(i\) 部分不从之前的状态转移，而是直接由定义计算，即把 \(T=\{i\}\) 代入定义式，这部分的值为 \((-1)^{1-k}\binom{0}{k-1}\)，也就是 \(k=1\) 时为 \(1\)，否则为 \(0\)。
总的 dp 方程：\(f_{i,j,k}=\begin{cases}f_{i-1,j,k}&(j<p_i)\\f_{i-1,j,k}+[k=1]&(j=p_i)\\f_{i-1,j,k}+f_{i-1,j-p_i,k-1}-f_{i-1,j-p_i,k}&(j>p_i)\end{cases}\)
当然，从结果上来看和 \(f_{i,0,0}=1\) 是一样的..

\(f[i][0][0]\) 设为 -1 也是可以的

const int K = 12, M = 10005;
const int P = 998244353;
ll f[K][M], inv[M], n, k, m;
int main() {
	read(n), read(k), read(m), k = n - k + 1;
	inv[0] = inv[1] = 1;
	for (int i = 2;i <= m; i++) inv[i] = (P - P / i) * inv[P % i] % P;
	for (int i = 1;i <= k; i++) f[i][0] = -1;
	for (int i = 1;i <= n; i++) {
		ll p; read(p);
		for (int j = m; j >= p; j--) for (int q = k; q; q--)
				f[q][j] = (f[q][j] + f[q-1][j-p] - f[q][j-p]) % P;
	}
	
	ll ans = 0;
	for (int i = 1;i <= m; i++) ans = (ans + f[k][i] * inv[i]) % P;
	write((ans * m % P + P) % P);
	
	return 0;
}