常用计数技巧和方法（理论篇）

常用计数技巧和方法（理论篇）

文章较长且大量使用 \(\LaTeX\) 导致渲染较慢，因此分为两个部分

应用篇

由于组合方面的知识非常的繁细，容易忘记，使用时不够熟练，这里总结一下

以下内容有所借鉴百度百科和大佬的 blog %%%

【瞎总结】组合模型及其组合意义的阐释

范德蒙德卷积以及一些二项式系数的推导

排列组合定义

排列：指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序

组合：组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序

\[A_n^m = \frac{fac[n]}{fac[n-m]}\\ C_n^m={n \choose m} = \frac{fac[n]}{fac[m]\cdot fac[n-m]} = \frac{A_n^m}{fac[m]} \]

加法原理

第一类办法中有 \(m_1\) 种不同的方法，在第二类办法中有 \(m_2\) 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 \(m_n\) 种不同的方法，那么完成这件事共有 \(N=m_1+m_2+m_3+…+m_n\) 种不同方法

乘法原理

做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 \(m_1\) 种不同的方法，做第二步有 \(m_2\) 种不同的方法，……，做第n 步有 \(m_n\) 种不同的方法，那么完成这件事共有 \(N=m_1×m_2×m_3×…×m_n\) 种不同的方法。

二项式定理

\[\large{(a+b)^n=\sum_{i=0}^n{n\choose i}a^ib^{n-i}}\\ \]

很好理解，每个 \((a+b)\) 中可以选出 a 或 b，最终有 k 个 a 的方案数就是 \(n \choose k\)

其他变形，在部分题可以应用

\[\large{(a-b)^n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}{n\choose i}a^ib^{n-i}}\\ \large{\frac{(a+b)^n+(a-b)^n}{2}=\sum_{i为偶数}^n{n \choose i}a_{n-i}b^i} \]

杨辉三角

容易发现其与二项式系数有着对应关系

其他性质

• \({n \choose i} = {n-1 \choose i}+{n-1 \choose i-1}\) 选不选 n 号物品
• \({n \choose i} = {n \choose n-i}\)
• \(2^n=\sum_{i=0}^n {n\choose i}\)
• \(\sum_{i为奇数}{n\choose i}=\sum_{i为偶数}{n\choose i}=2^{n-1}\)

组合数的奇偶（了解）

对组合数 \(n \choose k\)：将 n，k 分别化为二进制，若某二进制位对应的 n 为 0，而 k 为 1，则 \(n \choose k\) 为偶数；否则为奇数。

快速计算组合数的方法

• 预处理逆元，定义法计算 \(\Theta (N+T)\)
• 将杨辉三角打表，\(\Theta(N^2+T)\)
• 对于模数较小的情况可以使用 Lucas 定理和 exLucas 解决
• 暴力处理上下的质因数消元

范德蒙德卷积

\(\sum_{i=0}^k{n \choose i}{m \choose k-i}= {n + m\choose k}\)

理解：从两堆共选 k 可表示为枚举第一堆选多少的方案数 * 第二堆的方案数

\(\sum_{i=1}^n{n \choose i}{n \choose i-1} = { 2n\choose n-1}\)

可以从第一个式子推来，将 \({n \choose i}\) 化为 \(n \choose n-i\) 即可

\(\sum_{i=0}^n{n\choose i}^2={2n \choose n}\)

\(\sum_{i=0}^m{n \choose i}{m \choose i}={n+m \choose m}\)

隔板法（重点）

问题形式一：将 n 个相同苹果放入 m 个不同的箱子里的方案数（可以限制是否为空）

问题形式二：解方程 \(x_1+x_2+ \cdots+x_m = n\) ，正整数解或自然数方案数

将 n 个苹果排成一列，发现有 n - 1 的空隙，在其中 m 个空隙中插上隔板，两个隔板中的苹果扔到同一个箱子里即可，如果可以为零就加上 m 个虚拟苹果

• 解方程变形：\(x_1+x_2+ \cdots+x_m \le n\) 再加入一个变量即可
• 个数限制：容斥枚举那些超出限制即可

可重组合

问题：有 m 种球每种球都是足够多的，有 n 个相同盒子，现在要把盒子塞满(一种球可以用多次)，多少种方案？

\[H(n,m)={{m+n-1}\choose m} \]

理解一：隔板法

枚举每种球放入几个盒子，隔板法解决即可

理解二：构造

将 n 个盒子的球按编号排序，第 i 个变为 \(a_i+i\)，这样可以保证每个盒子里的球编号互不相同了，发现任意从 \([2, n + m]\) 选出来 n 个数都可以还原到原来的数列

拓展一：盒子有编号（直接乘上 fac[n]）

拓展二：盒子可以为空 （隔板法的解方程变形）

扩展三：球有个数限制，同隔板法

不相邻组合

问题：有 n 个球，m 个盒子，选出的球不能相邻（即i 和 i + 1 不可同时选择），有多少种组合方式？

\[H(n,m)={n-m+1 \choose n} \]

理解：构造

同可重集合将[1, n] 缩小到 [0, n-m]，易证

格路模型

从坐标原点走到 \((n,m)\) 的方案数是

\[{{n+m}\choose n} \]

没啥好说的。。。

艾提艾斯提模型

以前从未听说QAQ

\[{{n+m+1}\choose m}=\sum_{i=0}^m {n+m-i\choose m-i} \]

从坐标 \((n+1,m)\) 开始，枚举第一步向下走多少步，且从左边走过来

画个图会很好理解

备胎模型

奇怪的名称增加了

\[{n \choose l}{l \choose r}={n \choose r}{n-r\choose l-r},l\in[r,n] \]

从 n 中选 l 个再从 l 中选 r 个等价于直接从 n 中选 r 个，再从剩下的选 \(l - r\) 个

直接走定义式也可证明

拓展形式

\[\prod_{i=1}^k{a_{i-1}\choose a_i}={a_0\choose a_k}\prod_{i=1}^{k-1}{a_0-a_i\choose a_i- a_{i+1}} \]

奇偶模型

\[\sum_{i为奇数}{n\choose i}=\sum_{i为偶数}{n\choose i}=2^{n-1} \]

二项式定理令 \(x = 1, y = -1\) 即可证明

组合解释

对于 x 元素来说，有一半的集合包含它，一半的集合不包含，包含它的奇子集将它去掉变为不包含它的偶子集，不包含它的奇子集加上它变为包含它的偶子集，得证！

两个恒等式

上定下动

\[\sum_{i=1}^n {n\choose i}=2^n \]

下定上动

\[\sum_{i=r}^n{i \choose r}={n+1\choose r+1} \]

理解：枚举选出来的最大编号

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