莫比乌斯反演

莫比乌斯反演

前置芝士:

• 积性函数(好东西) ：对于数论函数 f(x) , 若 a * b = x && gcd(a, b) = 1, f(x) = f(a) * f(b);

• 特殊的,对于a, b不互质也满足上式，则称f(x)为完全积性函数

• 常见积性函数

  1. μ(n)——莫比乌斯函数。
  \[\mu(d)=\begin{cases} 1 &\text{d = 1}\\ (-1)^r &\text{$d=p_1p_2...p_r,其中p_i为素数$}\\ 0 &\text{others} \end{cases} \]
  2. φ(n)——欧拉函数。表示不大于n且与n互质的正整数个数，十分常见的数论函数。用数学式子表示即：φ(n) = \(\sum^{n}_{d=1}[gcd(d, n) == 1]\);
  3. d(n)——约数个数。表示n的约数的个数。用式子表示为：d(n) = \(\sum^n_{d = 1} [d |n]\);
  4. σ(n)——约数和函数。即n的各个约数之和。表示为：σ(n) = \(\sum_{d|n}d\) = \(\sum^{n}_{d = 1} [d | n] \cdot d\) ;

  (PS：接下来列举的是完全积性函数)

  1. ϵ(n)——元函数。ϵ(n) = [n=1]。
  2. I(n)——恒等函数。所谓恒等就是这个函数的值恒为1。
  3. id(n)——单位函数。id(n)=n。

狄利克雷卷积 :

设f , g为数论函数, 其狄利克雷卷积为 \(f * g = \sum_{d | n} f(d) \cdot g(n / d)\)

其性质满足交换律, 结合律和分配律

几条比较常用的小性质 :

• 单位元 : \(f * \epsilon = f\) (显然)

• \(\mu * I = \epsilon\)

  证明 :

  若 n > 1

  \[\mu * I = \sum_{d | n} \mu(d), 设 n = p^{\alpha_1}_1p^{\alpha_2}_2 \cdots p^{\alpha_k}_k \]

  因为含有平方因子的 \(\mu\) 值一定为零, 所以我们只考虑每个质因子选一个或不选

  然后根据组合数选奇数项之和等于选偶数项之和(也可以用二项式定理), 得出 \(\mu * I = 0\)

  若n = 1, \(\mu * I = 1\)

• \(\phi * I = Id\)

莫比乌斯反演

\[若 F(x) = \sum_{d|x}f(x) = f * I\\ f(x) = \sum_{d|x}F(x) * \mu(\frac xd) = F * \mu \]