洛谷省选春令营--期望

洛谷省选春令营--期望

题目描述

你在一个无穷大的二维平面上，可以进行移动。每次移动可以向上、下、左、右四个方向移动一个格子。比如当前的坐标为 \((0, 0)\)，移动一次后可以到达 \((1, 0), (0, 1), (0, -1), (-1, 0)\) 四个坐标中的一个。

初始时你在 \((0, 0)\)，现在随机移动 \(n\) 次，求：期望可以访问多少个不同的点。

可以证明，答案乘以 \(4^n\) 是一个整数，你只需要输出答案乘以 \(4^n\) 再模 \(998244353\) 的结果即可。

数据范围

对于 \(20\%\) 的数据，满足 \(1 \leq n \leq 10\)。

对于 \(40\%\) 的数据，满足 \(1 \leq n \leq 100\)。

对于 \(80\%\) 的数据，满足 \(1 \leq n \leq 1000\)。

对于 \(100\%\) 的数据，满足 \(1 \leq n \leq 100000\)。

题解

对于第一部分分: 直接暴力搜索即可

对于第二部分分: 采用\(O(n^3)\)算法

设g[x]表示从一个点出发, 走x步不经过原点的方案数, f[x][y]表示从原点出发到点(x, y)的路径条数(无限制)

也就是强制使一个点最后一次被经过时计算

可以设三维动态规划(时间, x, y)来计算方案数

对于第三部分分: \(O(n^2)\)算法

设f[x]表示走x步到一个以前为经过的点的路径数, g[x]为走x步又回到原点的路径数

则

\[g[i]= {i\choose \frac i2}^2 * [i为偶数]\\f[i] = 4^i-\sum_{j=0}^{i-1}f[j]*g[i-j] \]

第一个式子, 易知要回到原点, 向上走的步数和向下走的步数相等, 向右向左也是, 所以向上走的步数加向右走的步数等于\(\frac i2\), 先从i步中选一半出来是向上和向右为A组, 另一半为B组, 再和之前独立重新选出来一半, 这一半中和A组的交集向上走, 和B组的交集向左走, 模拟一下可以发现满足条件

另一种理解方式, 还是先选出来两个组, 枚举向上走的个数i, A组为\(\frac 2n \choose i\), B组一样

\[g[2*x] = \sum_{i=0}^x {x\choose i}^2 = \sum_{i=0}^x {x\choose i}{x\choose x-i} = {2*x \choose x}^2 \]

然后说f, 就是走i步有\(4^i\)条路径, 再减去以前到过此点的路径条数即可

对于最后部分分: \(O(nlog_n)\)

观察f的递推式

\[f[i] = 4^i-\sum_{j=0}^{i-1}f[j]*g[i-j]\\4^i=\sum_{j=0}^i f[j]*g[i-j]\\H = F * G\\其中H = \sum_{i=0}^{\inf}4^i\\F = H * G^{-1} \]

多项式求逆就好了