计数问题学习笔记
计数问题学习笔记
组合计数
插板法: 略
阶乘幂:
上升阶乘幂:
下降阶乘幂:
\((x)_{(n)}\)
卡特兰数:
定义式
通项式
应用: 括号序列数量, 方格行走数, 凸多边形划分数, 二叉树数量
通项证明:
2n步选n步向斜上走方案数为\(\tbinom{2n}{n}\)
如果走到负区域, 则一定与2n步选n-1步斜向上走的方案数相同
在一条路径第一次触到直线y=-1时, 将其以后的路径关于y=-1对称
走2n步最终到达点(2n, -2)
每一条到达点(2n, -2)的路径都可以如此转化
第一类斯特林数:
$ S_u(n, m)$表示n个不同元素构成恰好m个圆排列的方案数
\(S_u(n,m) = S_u(n-1,m-1) + (n-1) * S_u(n-1,m)\)
有符号: \(S_s(n, m) = (-1)^{n+m}S_u(n,m)\)
有符号的生成函数: \((x)_{(n)}\) (x的n次下降幂)
第二类斯特林数:
\(S(n,m)\)表示n个不同元素拆分成m个非空集合方案数
生成函数
贝尔数为第二类斯特林数之和
拆分数:
\(f_n\)表示大小为n的正整数拆分成若干无序的正整数之和的方案数
dp求解
方案一:
f[i][j]表示拆分成若干不超过j的方案数
f[i][j] = f[i-j][j] +f[i][j-1]
方案二:
g[i][j]表示拆分j个数字的方案数
g[i][j] = g[i-1][j] + g[i-j][j]
优化:
易知任意一个复杂度都是\(n^2\)
结合两者, 复杂度为\(n\sqrt{n}\)
首先用方案一跑出所有用不超过\(\sqrt{n}\)数字大小拼出1~n的方案数
复杂度\(n\sqrt{n}\) 存疑
生成函数
基础闭形式:
\(\sum_{n \ge 0} x^n=\frac{1}{1-x}\)
\(\sum_{n \ge 1} x^n=\frac{x}{1-x}\)
\(\sum_{n \ge 1} x^n=x*(\sum_{n \ge 0} x^n)\)
\(\sum_{n \ge 1} n x^n=\)?
\((\sum_{n \ge 0} x^n)'=(\frac{1}{1-x})'\)
\(\sum_{n \ge 0} (n+1)x^n=\frac{1}{(1-x)^2}\)
\(\sum_{n \ge 0} (n+1)x^{n+1}=\frac{x}{(1-x)^2}\)
\((\sum_{n \ge 0} x^n)*(\sum_{n \ge 0} x^n)=\sum_{n \ge 0} (n+1)x^n=\frac{1}{(1-x)^2}\)
\(\sum_{n \ge 0} \frac{1}{n!}x^n=e^x\)
-
加法意义: 合并
-
乘法意义:拼接
例: 求斐波那契数列的通项公式
因为F(x) = F(x-1) + F(x-2)
发现最上面的生成函数由下面两个推出
所以\(F(x) = x \cdot F(x-1) + x^2 \cdot F(x-2)\) + 1
解得F(x)的闭形式为\(\frac{1}{1-x-x^2}\)
那么如何求通项公式呢?
前置:
\(\sum_{n \ge 0} x^n=\frac{1}{1-x}\)
\(\sum_{n \ge 0} (kx)^n=\frac{1}{1-kx}\) (将x变为kx即可)
\(\sum_{n \ge 0} ax^n=\frac{a}{1-x}\)
发现如果把它化成类似\(\frac{a}{1-kx}\)的形式是再好不过了
所以将\(1-x-x^2\)因式分解, 再进行裂项
设\(t_1, t_2\)为其的两根
最后化成\(\frac{a}{1-t_1x} - \frac{b}{1-t_2x}\)的形式
\(A_n = a \cdot t_1^n - b * t_2^n\)
好像不是很难的鸭子
指数级生成函数:
处理有标号问题时, 通常使用指数级生成函数
生成函数: \(\displaystyle\sum _{n\ge0}\frac{A_n}{n!}x^n\)
