线性代数学习笔记

线性代数学习笔记

一：行列式

前置芝士： 序列逆序对个数 \(\tau (a_1a_2a_3 \cdots a_n) \displaystyle \sum^{n}_{i}{a[i] < a[j] ( i > j)}\)

性质1: 交换序列中相邻的两个数会改变原序列逆序对个数的奇偶性

性质2: 交换序列中不相邻的两个数也会改变原序列逆序对个数的奇偶性

​ 证明:$ a_1...a_i...a_j...a_n 不断将a_i与它右边的数字交换直至正好换到a_j 即a_1...a_ja_i...a_n 此时共交换了j - i 次$

再将\(a_j\) 向左与相邻数字交换j - i - 1次到原来\(a_i\)所在位置 ,此时共交换2 * (j - i) - 1次,为奇数次,所以奇偶性改变

行列式正式登场: 定义: \(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \\ \end{bmatrix}\) = \((-1)^{\tau (a_{1j_1} a_{2j_2}\cdots a_{nj_n})}\)\(\displaystyle \pi ^{n} _ {i = 1}a_{ij_i} (j_i\) 互不相同)

性质1: 行列互换, 行列式的值不变

性质2: 交换行列式的两行或两列,行列式的符号改变

• 推论: 如果行列式有两行或两列完全相同, 那么此行列式的值为零

性质3: 行列式的某一行所有元素乘以一个数k等于用数k乘以此行列式

• 推论1: 行列式中某一行(列)的所有元素全部是零, 那么这个行列式的值是零
• 推论2: 行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到此行列式外面
• 推论3: 行列式如果有两行(列)对应元素成比例,那么次行列式的值为零

性质4: 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和 , 如:

\[\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1i} + a^{'}_{1i} & \cdots &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2i} + a^{'}_{2i} & \cdots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{ni} + a^{'}_{ni} & \cdots &a_{nn} \\ \end{bmatrix} \]

则D等于下列两个行列式的和:

D = \(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1i} & \cdots &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2i} & \cdots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{ni}& \cdots &a_{nn} \\ \end{bmatrix}\) + \(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a^{'}_{1i} & \cdots &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a^{'}_{2i} & \cdots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a^{'}_{ni} & \cdots &a_{nn} \\ \end{bmatrix}\)

性质5: 把行列式的某一行(列)的元素乘以同一个数后加到另一行(列)的对应元素上,行列式不变

\[\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots &a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots &a_{nn} \\ \end{bmatrix} \]

代数余子式:

在n阶行列式D中划去任意选定的k行、k列后，余下的元素按原来顺序组成的n-k阶行列式M，称为行列式D的k阶子式A的余子式

Matrix-Tree定理:

拉普拉斯矩阵: 度数矩阵-邻接矩阵

\[L_{i,j}= \begin{cases} \deg(v_i), &\text{if $i=j$}\\[2ex] -1, &\text{if $i\not=j$ and $v_i$ is adjacent to $v_j$}\\[2ex] 0, &\text{otherwise} \end{cases} \]

求出它任意一个代数余子式的值即为它生成树的数量