高数——求间断点

 

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间断点即不连续点。先从连续概念开始。

 

一. 连续点

 

1. 定义1 在 点连续，当且仅当

(i) 在 点有定义，即 有意义；

(ii) 存在，有时候需要 和 存在且相等来保证；

(iii) .

注1. 好多教材上都直接用条件 (iii) 作为连续点的定义，确实条件 (iii) 隐含了条件 (ii) 和 (i) ，但这样以来，就让很多高数新人对 “连续” 概念，总是理解不到位。那为什么不把这三条都说出来呢；

注2. 如果你能理解函数极限的定义，相信你能区分 与 二者并无关系。

 

2. 连续也可以等价地定义：

在 点连续

当自变量的改变量 趋于 0 时，函数值的改变量 也趋于0，即

, , 当 时，有

 

3. 若 在 上每一点都连续，则称 为 上的连续函数。

从几何上看，连续函数是一条连绵不断的曲线。

 

二. 间断点

1. 间断点即不连续点，所以否定上述定义中的三条（注意：否定任意一条都足以构成间断点）

 

定义2. (1)若 在 点无定义——是间断点；

(2) 若 在 点有定义，但极限 不存在——是间断点；

(3) 若 在 点有定义，极限 也存在，但 ——是间断点。

 

2. 间断点的分类：设 是 的间断点，

第一类间断点：若 与 都存在，又包括两类：

第二类间断点：否定第一类，若 和 至少有一个不存在，又包括两类：

 

注1. 有人问到震荡间断点，解释一下。第二类间断点是左、右极限至少有一个不存在。而极限不存在只有两种情况：(1) 极限“存在”，但为 , 对应无穷间断点；(2) 至少有两个趋于 的子列，使得函数值极限不相等，这种往往是以带 和 项为代表，体现为震荡间断点。

注2. 可见，判断间断点分类只是基于左、右极限，所以，遇见间断点的题二话不说先求左右极限。

 

四类间断点示意图：

 

3. 判断间断点的一般解题步骤

由于初等函数在其定义区间上连续，故间断点只可能出现在：(1) 分段函数的分段点处；(2) 初等函数无定义的点(分母=0处)。于是，

第1步：找出所有可能的间断点；

第2步：逐个点计算其左极限、右极限，再判断其类型。

 

例1 设 ，判断其间断点及其类型，并写出其连续区间。

解：(1) 可能的间断点：0，-1,1

(2) ① 对 ,

左右极限都存在，故是第一类间断点，但不相等，故是跳跃间断点。

② 对 ,

左右极限都不存在，故是第二类间断点，又等于 , 故是无穷间断点。

③ 对 ,

左右极限都存在，故为第一类间断点，又相等，故为可去间断点。

(3) 连续区间首先得是定义域内，其次函数在其上连续。而初等函数在其定义域内都是连续的，所以，该函数的连续区间为：

 

附图：

注. 从图形上看， 处怎么连续了呢？是因为一个点的长度是0，该空点是看不到的，当然最好是特殊标记一下。