高数——多元函数

多元函数求极限：

原则：

就一个原则：除了洛必达法则，基本上一元函数能用的求极限的方法几乎都能在多元函数上使用。

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例1 使用了无穷小替换

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例2 二元初等函数在定义域连续，所以极限同样可以直接代入

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例3 同样也可以分子分母有理化

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例4 同样也可以使用两个重要极限

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例5 同样也能够使用夹逼准则

讨论函数 $f\left( {x,y} \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2}y}}{{{x^2} + {y^2}}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {x^2} + {y^2} \ne 0\\ 0{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {x^2} + {y^2} = 0 \end{array} \right.$ 在（0,0）处的连续性

解：先求极限 $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0,y \to 0} f\left( {x,y} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,y \to 0} \frac{{{x^2}y}}{{{x^2} + {y^2}}}$

因为 $0 \le \left| {\frac{{{x^2}y}}{{{x^2} + {y^2}}}} \right| = \left| {\frac{y}{{1 + \frac{{{x^2}}}{{{y^2}}}}}} \right| \le \left| y \right| \to 0\left( {y \to 0} \right)$

所以由夹逼准则知道 $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0,y \to 0} f\left( {x,y} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,y \to 0} \frac{{{x^2}y}}{{{x^2} + {y^2}}} = 0 = f\left( {0,0} \right)$
因此连续

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posted @ 2020-02-01 20:15 Hqx_curiosity 阅读(756) 评论(0) 编辑收藏举报

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