错排问题 (Mathematics)

       把n封信装进n个信封里，每封信都装错了，问一共有多少种情况？

 

       为了方便表述，把n个信封编号为1，2，……，k，……，n。把n封信编号为f1,f2,f3,……，fk,……，fn.共有情况f(n)种。

       如果n = 1,显然不可能装错，f(1) = 0;

       如果n = 2,只有两种情形，一种装对，一种装错，f(2) = 1;

       如果n > 2,那么考虑装错的情形，fn可以装的位置有n-1种，先假定把fn装进信封k中，则fk是否装进信封n中，分两种情况：

      （1）fk装进信封n中，则余下的问题是f(n-2);

      （2）fk不装进信封n中，这时可以假设信封k和fn消失，把fk看错fn，问题就是f(n-1)了。

       所以f(n) = (n-1)*( f(n-2)+f(n-1) );