整除理论

整除也是一片新天地呢qwq

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整除的定义：设n为非负整数，d为正整数，如果n/d为整数。则称d整除n,记作d|n。

任何正整数都整除0。

 

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约数:设n为非负整数,d为正整数，如果存在d|n,则称d为n的约数。

最大公约数（GCD）：设a为正整数，b为正整数，a和b的所有约数中，相同且最大的那个称为a,b的最大公约数，

记作gcd(a,b)。

最大公约数的性质：gcd(a,0)=a; gcd(a,b)=gcd(b,a mod b); gcd(a,b)=gcd(b,a);

1，质因数分解求GCD

先将a和b质因数分解。

得到

a=∏P_i^a_i

b=∏P_i^b_i

gcd(a,b)=∏P_i^min(a_i,b_i)

2，辗转相除法求GCD

利用性质：gcd(a,b)=gcd(b,a%b); gcd(a,0)=a;

inline void gcd(int a,int b)
{
    if(b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
} 

若gcd(a,b)=1,则称a,b互质。

求n的正约数集合：试除法

求1-n每个数的正约数集合：倍数法，类似于埃氏筛不同的是不是只用质数筛，是用每个数都筛一遍。

 

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倍数：若a,b为正整数，d为非负整数，若a|d,b|d,则称d为a,b的倍数。

最小公倍数（LCM）：a,b的所有公倍数中最小的那个。

LCM（a,b）=a*b/gcd(a,b);

LCM（a,b）=a*gcd(a,b)/b;

 

inline int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
} 

inline int lcm(int a,int b,int ans)
{
    ans=(a/gcd(a,b))*b;
    return ans;
}