剑指Offer_#60_n个骰子的点数
剑指Offer_#60_n个骰子的点数
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题目
把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n，打印出s的所有可能的值出现的概率。
你需要用一个浮点数数组返回答案，其中第 i 个元素代表这 n 个骰子所能掷出的点数集合中第 i 小的那个的概率。
示例 1:
输入: 1
输出: [0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667]示例 2:
输入: 2
输出: [0.02778,0.05556,0.08333,0.11111,0.13889,0.16667,0.13889,0.11111,0.08333,0.05556,0.02778]限制：
1 <= n <= 11思路分析
这一题根本不是简单题...感觉是一道比较复杂的动态规划问题，书上的代码我也没有看懂，主要参考了题解：java 递归+记忆化递归+动态规划。
可以观察到的规律
首先我们可以考虑比较最简单的几个例子，即n=1,2,3时的情况，可以得出一些结论：
- 骰子数是n,那么点数和的范围是
[n,6n] - 计算点数和为k的概率时（k∈[n,6n]），分母是所有骰子点数的全排列，即6n；分子是所有点数和为k的排列数。
分母是固定的，那么问题的关键就在于分子的计算，即如何统计出点数和为k的所有排列个数。
分析这个问题，比较自然的思路是递归的思路，然后对递归算法进行优化，可以得出动态规划的解法。
方法1：递归
我们可以将问题抽象出来，设定一个函数f(n,k),表示有n个骰子，出现的点数之和是k的所有排列数。
如何计算f(n,k)的值？我们可以这么考虑，n个骰子的点数和可以拆分为两部分，n-1个骰子的点数和与1个骰子的点数和，两部分相加结果一定是f(n,k)。
- 1个骰子出现的点数和最简单，一定是1~6当中的一个。
- 根据那1个骰子的点数，我们可以推断出另外n-1个骰子的点数和，这两部分是互补的，有6种可能性。
- 1 + (k-1）
- 2 + (k-2)
- 3 + (k-3)
- 4 + (k-4)
- 5 + (k-5)
- 6 + (k-6)
也就是说，f(n,k)是骰子数为n,点数和为k的情况,是由骰子数为n-1的情况转变过来的。但骰子数为n-1时，点数和是不固定的，有6种可能性，即k-1,k-2...k-6。
得出递推关系：
f(n,k) = f(n-1,k-1)+f(n-1,k-2)+...+f(n-1,k-6)即每个递归问题的解决要依赖于6个递归子问题。
然后考虑终止条件：
终止条件应该是f(1,x) = 1,即当骰子数为1时，组合数是1。
但这么写的话，无法处理x计算出负数的情况。所以代码中换了一种写法，是等效的，且避免了x为负数的情况，见代码注释。
最后是递归返回值：
返回f(n,k)
递归的思路是从上到下的，从f(n,k)开始，递归调用f(n-1,x),f(n-2,x)...直到满足终止条件，开始回溯，最后回到f(n,k)。
方法2：动态规划
递归的问题在于这里边有很多的重复计算，很多递归子问题是相同的，其实只需要计算一次。
动态规划是从下到上解决问题，先计算子问题的结果，将子问题的结果保存起来，那么后续计算时避免了重复计算。保存子问题结果的就是dp数组。
状态定义
dp(n,k),表示有n个骰子，出现的点数之和是k的所有组合数。
初始状态
dp(1,x) = 1状态转移方程
dp(n,k) = dp(n-1,k-1)+dp(n-1,k-2)+...+dp(n-1,k-6)其实思路是和递归几乎完全相同的，仅仅是修改了解决问题的顺序，就优化了时间复杂度。
更多细节请参考代码，写了很多注释。
解答
解法1：递归
class Solution {
public double[] twoSum(int n) {
//点数和总共有6n-n+1种情况，即[n...6n]
double[] res = new double[5*n + 1];
int curSum = n;
for(int i = 0;i < res.length;i++){
//计算每种点数和的概率，分母6^n是总的排列数，分母是出现各种点数和的排列数
res[i] = countSum(curSum, n) / Math.pow(6, n);
//res[0]对应的点数和是n,i增加时对应的点数和同步增加
++curSum;
}
return res;
}
private int countSum(int curSum, int n){
if(n < 0 || curSum < 0) return 0;
//任何一个curSum调用总是会分解到f(0,0),f(1,0),f(2,0)...
//其中只有f(0,0)是1，其他的进一步分解必然出现负数，即得到0
if(n == 0 && curSum == 0) return 1;
int sum = 0;
for(int i = 1;i <= 6;i++){
sum += countSum(curSum-i, n-1);
}
return sum;
}
}递归写法对于n比较小的情况可以通过，n=9开始，时间超出限制。
解法2：动态规划
基本的dp解法，即用一个二维数组保存dp状态。
class Solution {
public double[] twoSum(int n) {
//把第0个位置空出来，目的是将数组索引与实际的骰子数目及点数对应
int[][] dp = new int[n + 1][6*n + 1];
//初始状态，即矩阵的第一行
//每一行都依赖于上一行进行计算
//这里循环变量用j比较合适，因为表示处理的是一行当中的每个元素
for(int j = 1;j <= 6;j++) dp[1][j] = 1;
//状态转移，由第一行开始，计算后面的所有行
for(int i= 2;i <= n;i++){
//因为i代表骰子数目，则其点数和范围应该是[i...6i]
//进到第二层循环，即计算某一行当中的某个特定元素
for(int j = i;j <= 6*i;j++){
//用for循环表示状态转移方程,看起来会比较抽象，但是实际上并没有很难，不要害怕
//实际上就是dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j-2]+...+dp[i-1][j-6]
//抽象出来，就是dp[i][j - dice],dice作为循环变量，每次累加一个dp[i][j - dice]
for(int dice = 1;dice <= 6;dice++){
//j - dice = 0时，矩阵中的数字是无意义的，因为所有赋值都是从dp[1][1]开始的
if(j - dice <= 0) break;
dp[i][j] += dp[i - 1][j - dice];
}
}
}
double[] res = new double[5*n + 1];
//dp[][n]开始计算，因为不存在点数和小于n的情况
int j = n;
//所有的排列数，即计算概率的分母
double sum = Math.pow(6,n);
//这里用k是因为这里遍历的是res[],而不是dp[][],加以区分
for(int k = 0;k <= res.length - 1;k++){
//迭代到最后，其实只需要看矩阵dp[][]当中最后一行（即第n行）的结果即可，代表的就是n个骰子各种点数和出现的次数
//除以总的排列数，即得到概率
res[k] = dp[n][j++] / sum;
}
return res;
}
}这个代码的提交成绩是双百。但是还有优化余地，因为dp矩阵当中，其实每一次只用得到当前行（dp[i][]）和上一行（dp[i-1][]），所以不必要保存整个矩阵，只需要保存两行即可。
解法3：进一步精简代码
参考K神的解法剑指 Offer 60. n 个骰子的点数
实际上原理和解法2也是相同的，但是代码上做了进一步的优化和精简。
- 解法2当中dp数组是一个二维数组，
dp[i]是一行数据，这行当中的每个数据dp[i][j]表示的是i个骰子之和为j的排列数。解法3则是直接维护了一个dp的一维数组，由于我们结果只需要最后一行，所以从始至终解法3只保留了一行数据。 - 解法2的
dp数组计算的是排列数，然后最后再通过除以6^n求出概率，而对于解法3，是直接用dp计算概率的。
class Solution {
public double[] dicesProbability(int n) {
double[] dp = new double[6];
//1个骰子的情况，出现1-6的概率是1/6
Arrays.fill(dp, 1.0 / 6.0);
//每次增加1个骰子，逐步迭代计算出n个骰子的点数和的概率分布情况
//每轮循环当中，i表示骰子的数目
for(int i = 2; i <= n; i++){
//i个骰子的点数和范围是[i, 6i],共有5i+1种情况
double[] tmp = new double[5 * i + 1];
//i个骰子的点数和是由i-1个骰子的点数和加上新骰子的点数得来的
for(int j = 0; j < dp.length; j++){
//新骰子的点数可能是1，2，3...6
for(int k = 0; k < 6; k++){
//j是1，2，3...6的概率分别为1/6，所以点数和从j变化为j+k的概率需要乘以1/6
tmp[j + k] += dp[j] / 6.0;
}
}
//dp和tmp的关系：dp是tmp的前一轮的值
dp = tmp;
}
return dp;
}
}上面的代码感觉变量名，逻辑有点不清晰，重写了一个
class Solution {
public double[] dicesProbability(int n) {
int[] pre = new int[6];
for(int i = 0; i < pre.length; i++) pre[i] = 1;
//填表，cur是基于pre求出的下一行，
for(int i = 2; i <= n; i++){//i表示骰子数量
int[] cur = new int[5 * i + 1];
for(int j = 0; j < cur.length; j++){//j表示点数和
for(int k = 0; k < 6; k++){
//注意这里递推的时候的下标对应关系，可以画出骰子数量为1，2的情况来归纳一下数学表达式
if(j - k >= 0 && j - k < pre.length) cur[j] += pre[j - k];
}
}
pre = cur;
}
double sum = Math.pow(6, n);
double[] res = new double[5 * n + 1];
for(int i = 0; i < res.length; i++){
//这里不使用cur是因为cur是上面循环中的一个局部变量
res[i] = pre[i] / sum;
}
return res;
}
}