剑指Offer_#14-1_剪绳子
剑指Offer_#14-1_剪绳子
Contents
题目
给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1]...k[m-1] 。请问 k[0]*k[1]*...*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。
示例 1：
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
提示：
2 <= n <= 58
思路分析
动态规划
设要求的最大的绳子长度乘积为f(n)。
这是一个动态规划问题。动态规划问题包含四个特点：
- 目标是求一个问题的最优解
- 整体问题的最优解依赖于各个子问题的最优解
- 大问题分解若干个小问题，这些小问题之间包含重叠的子问题，例如
- f(10)分解为f(4)和f(6)
- f(4)分解为f(2)和f(2)
- f(6)分解为f(4)和f(2)
这当中f(2)既是f(4)的子问题，也是f(6)的子问题，所以我们说f(2)是一个重叠的子问题，所以为了减少复杂度，我们可以将f(2)记录下来。这样以后计算f(4)和f(6)时就不需要进行重复计算。
- 从上往下分析问题，从下往上求解问题
- 从上往下分析问题。也就是说，我们都是从大问题出发，将其分解为一个个小问题，这是从上而下。但是由于上面所写的特点2，大问题的解决是依赖于小问题的，所以没办法从上往下的求解。例如：我们要求解问题f(8)，是依赖于f(1),f(2)...,f(7)的，要从f(1)开始算起，算到f(7),而不可能从f(7)算起，算到f(1)。这是依赖关系导致的。
- 从下往上求解问题。也就是先计算最小，最容易问题的最优解，再利用小问题最优解，解决大问题最优解。
解题思路
使用数组products[]记录f(n)的结果,下标对应着长度n（长度最小为2，索引0和1的元素仅仅是凑数的，目的是使得长度和下标可以相同）。
对于n<3的情况，可以直接得出：
- 长度为2时，只能剪成1+1，f(2)=1
- 长度为3时，只能剪成1+2，f(3)=2
所以可以归结为f(n)=n-1(n<=3)。
当输入n>3时，就需要通过循环，计算出所有f(n),返回最后一个元素即可。
解答1
class Solution {
public int cuttingRope(int n) {
if (n <= 3) return n-1;//长度为2或3时，其实不切最好，但是题目要求必须至少切一刀，所以乘积反而减1
int[] products = new int[n + 1];//products[i]是长度为i时问题的解。长度是n+1,最后一个元素索引为n。
//如果n>3,最后剩下的长度小于3，应该选择不切
products[0] = 0;
products[1] = 1;
products[2] = 2;
products[3] = 3;
//继续计算长度超过4的最大乘积，要依赖于0~3的结果（准确说是1~3的结果，0是凑数的）
for(int i = 4;i <= n;i++){
int max = 0;
for(int j = 1;j <= i/2;j++){
int product = products[j] * products[i - j];//从j的位置开始切割，计算最大乘积
if(product > max) max = product;
}
products[i] = max;
}
return products[n];
}
}复杂度分析
空间复杂度
- 使用一个数组来保存结果，
时间复杂度
- 二层循环，
动态规划2
class Solution {
public int cuttingRope(int n) {
if(n == 2) return 1;
if(n == 3) return 2;
int[] dp = new int[n + 1];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
dp[2] = 1;
dp[3] = 2;
for(int i = 4; i <= n; i++){
int max = 0;
for(int j = 1; j < i; j++){//注意：主要是这里不同
int product = Math.max(j * dp[i - j], j * (i - j));//还有这里
if(product > max) max = product;
}
dp[i] = max;
}
return dp[n];
}
}解答2：贪心算法
- 在
n >= 5时，每次切出一段长度为3的绳子是最优的方法。即：每次使得绳子长度n减少3，结果res变为3倍。 - 在
n < 5时，剩下的绳子不需要继续切。即：把剩余的绳子长度直接乘到res里边。
class Solution {
public int cuttingRope(int n) {
if(n <= 3) return n - 1;
int res = 1;
while(n >= 5){
res *= 3;
n -= 3;
}
return res * n;
}
}