树形dp
树形dp，意思就是在树上的dp， 看了看紫书，讲了三个大点把，一个是树的最大独立集，另外一个是树的重心，最后一个是树的最长路径。给的三个例题，下面就从例题说起
第一个：工人的请愿书 uva 12186
这个题目给定一个公司的树状结构，每个员工都有唯一的一个直属上司，老板编号为0，员工1-n，只有下一级的工人请愿书不小于T%时，这个中级员工，才会签字传递给它的直属上司，问老板收到请愿书至少需要多少各个工人签字
用dp(u)表示u给上级发信至少需要多少工人，那么可以假设u有k个节点，所以需要c = (T*k - 1) / 100 + 1个直接下属，把所有的子节点的dp值从小到大排序，前c个加起来就是答案。
树形dp就是从根节点一层一层往下找，找到最优的子结构，树形的最优子结构就是子树，我是用的记忆化搜索。代码如下：
#include <cstdio> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; const int maxn = 1e5 + 10; vector<int> sons[maxn]; int n, t; int dp(int u) { if (sons[u].empty()) return 1; int k = sons[u].size(); vector<int> d; for (int i = 0; i < k; i++) d.push_back(dp(sons[u][i])); sort(d.begin(), d.end()); int c = (k * t - 1) / 100 + 1; int ans = 0; for (int i = 0; i < c; i++) ans += d[i]; return ans; } void init() { for (int i = 0; i <= n; i++) sons[i].clear(); } int main() { while (~scanf("%d%d", &n, &t) && n + t) { init(); int t; for (int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d", &t); sons[t].push_back(i); } printf("%d\n", dp(0)); } return 0; }
第二个：Hali-Bula的晚会，poj3342， uva1220
这个几乎是求树的最大独立集的模板题，就是多了一个要求，判断是否唯一
考虑一个点，只有两种情况，选它，不选它
所以用 d[u][0]表示以u为根的子树中，不选u点能得到的最大人数 f[u][0]表示方案唯一性，如果f[u][0] = 1说明唯一，0说明不唯一
d[u][1]表示以u为根，选u点能得到的最大值。
状态转移方程就是d[u][1] = sum{d[v][0]}| v是u的子节点
d[u][0] = sum{max(d[v][0], d[v][1])},所以代码如下：
#include <cstdio> #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> #include <string> #include <cstring> #include <map> using namespace std; const int maxn = 240; vector<int> sons[maxn]; map<string, int> mp; int f[maxn][2], d[maxn][2]; int n, cnt; void init() { memset(d, -1, sizeof(d)); for (int i = 0; i <= n; i++) sons[i].clear(); mp.clear(); } int dp(int u, int flag) { f[u][flag] = 1; if (sons[u].empty() && flag) return 1; if (sons[u].empty() && !flag) return 0; int k = sons[u].size(); int sum = 0; if (flag == 1) { sum++; for (int i = 0; i < k; i++) { int v = sons[u][i]; if (d[v][0] == -1) d[v][0] = dp(v, 0); sum += d[v][0]; f[u][1] &= f[v][0]; } } else { for (int i = 0; i < k; i++) { int v = sons[u][i]; if (d[v][1] == -1) d[v][1] = dp(v, 1); if (d[v][0] == -1) d[v][0] = dp(v, 0); if (d[v][0] == d[v][1]) f[u][flag] = 0; if (d[v][0] > d[v][1]) f[u][0] &= f[v][0]; else f[u][0] &= f[v][1]; sum += max(d[v][1], d[v][0]); } } return sum; } int main() { while (~scanf("%d", &n) && n) { init(); string s, tmp; cin >> s; mp[s] = 0; cnt = 1; for (int i = 1; i < n; i++) { cin >> s >> tmp; if (mp.count(s) == 0) mp[s] = cnt++; if (mp.count(tmp) == 0) mp[tmp] = cnt++; sons[mp[tmp]].push_back(mp[s]); } int t1 = dp(0, 0); int t2 = dp(0, 1); bool flag = true; //cout << f[0][0] << endl; //cout << f[0][1] << endl; //cout << t2 << endl; if (t1 == t2) flag = false; if (t1 < t2 && f[0][1] == 0) flag = false; if (t1 > t2 && f[0][0] == 0) flag = false; printf("%d %s\n", max(t1, t2), flag ? "Yes" : "No"); } return 0; }
第三个：完美的服务 poj3398, uva 1218
这个和第二题差不多，就是状态多了一个，因为有个条件是每台计算机连接的服务器恰好是一个，所以多了一个状态，我是用记忆化搜索来写的，写完之后一直wrong answer，后来对比了网上的代码发现把inf设的太大了，估计是后来加着加着越界了，所以wrong了，后来改了就好了，不过记忆化写起来比递推代码长多了。。。
记忆化代码：
#include <cstdio> #include <iostream> #include <vector> using namespace std; const int maxn = 10010; const int inf = (1e6); vector<int> sons[maxn]; int n; int d[maxn][3]; void init() { for (int i = 0; i <= n; i++) d[i][0] = d[i][1] = d[i][2] = inf; for (int i = 0; i <= n; i++) sons[i].clear(); } int dp(int u, int pre, int f) { if (sons[u].size() == 1 && sons[u][0] == pre) if (f == 0) return 1; else if (f == 1) return 0; else return inf; int k = sons[u].size(); int sum = 0; if (f == 0)//u is server { sum++; for (int i = 0; i < k; i++) { int v = sons[u][i]; if (pre == v) continue; if (d[v][0] == inf) d[v][0] = dp(v, u, 0); if (d[v][1] == inf) d[v][1] = dp(v, u, 1); sum += min(d[v][0], d[v][1]); } } else if (f == 1)//u is not server, his father is server { for (int i = 0; i < k; i++) { int v = sons[u][i]; if (v == pre) continue; if (d[v][2] == inf) d[v][2] = dp(v, u, 2); sum += d[v][2]; } } else//u is not server and his father is not server; { int ans = inf; for (int i = 0; i < k; i++) { int v = sons[u][i]; if (pre == v) continue; if (d[u][1] == inf) d[u][1] = dp(u, pre, 1); if (d[v][2] == inf) d[v][2] = dp(v, u, 2); if (d[v][0] == inf) d[v][0] = dp(v, u, 0); ans = min(ans, d[u][1] - d[v][2] + d[v][0]); } sum += ans; } return sum; } int main() { int a, b; while (~scanf("%d", &n) && n != -1) { if (n == 0) continue; init(); for (int i = 1; i < n; i++) { scanf("%d %d", &a, &b); sons[a].push_back(b); sons[b].push_back(a); } int t1 = dp(1, 0, 0); int t2 = dp(1, 0, 2); //cout << t1 << endl; //cout << t2 << endl; printf("%d\n", min(t1, t2)); } return 0; }
递推代码：
#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <vector> using namespace std; const int maxn = 11000; const int inf = 1e6; vector<int> sons[maxn]; int n; int d[maxn][3]; void init() { for (int i = 0; i <= n + 10; i++) { d[i][0] = 1; d[i][1] = 0; d[i][2] = inf; } for (int i = 0; i <= n; i++) sons[i].clear(); } void dp(int u, int pre) { int k = sons[u].size(); for (int i = 0; i < k; i++) { int v = sons[u][i]; if (pre == v) continue; dp(v, u); d[u][0] += min(d[v][0], d[v][1]); d[u][1] += d[v][2]; d[u][2] = min(d[u][2], d[v][0] - d[v][2]); } d[u][2] += d[u][1]; } int main() { int a, b; while (~scanf("%d", &n) && n != -1) { if (n == 0) continue; init(); for (int i = 1; i < n; i++) { scanf("%d %d", &a, &b); sons[a].push_back(b); sons[b].push_back(a); } dp(1, 0); printf("%d\n", min(d[1][0], d[1][2])); } return 0; }
