快速乘法(基于快速幂)

快速乘法的思想和快速幂的思想一样，快速幂是求一个数的高次幂，快速乘法是求两个数相乘，什么时候才用得到快速乘法呢，当两个数相称可能超过long long 范围的时候用，因为在加法运算的时候不会超，而且可以直接取模，这样就会保证数据超不了了。具体拿一个BestCoder的题目来示例。题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5187

这个题先找规律，然后在求快速乘法和快速幂结合起来。题目推出来通式是：2ⁿ-2

推的过程就是一共有四种情况： 升升，升降，降升，降降，其中升升和降降最简单，一共有两种，复杂的就是升降和降升这两种情况，首先来看降生，那么a_i一定是最小值，因为两边都算a_i了，所有当在第一个空的时候，前面一共有C_n-1¹， 后面就自动的确定了，在第二位的时候，有C_n-1²， 同理到最后C_n-1^n-2，所以加起来就是2^n-1-2,这是降升，同理升降也是这么多，所以最后结果就是(2^n-1-2) * 2 + 2 = 2ⁿ-2;下面就是快速幂了，由于题目给的n特别大，所以直接快速幂会超long long，看代码：

#include<iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std;
typedef long long LL;

LL fast_multi(LL m, LL n, LL mod)//快速乘法 
{
    LL ans = 0;//注意初始化是0，不是1 
    while (n)
    {
        if (n & 1)
            ans += m;
        m = (m + m) % mod;//和快速幂一样，只不过这里是加 
        m %= mod;//取模，不要超出范围 
        ans %= mod;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}
LL fast_pow(LL a, LL n, LL mod)//快速幂 
{
    LL ans = 1;
    while (n)
    {
        if (n & 1)
            ans = fast_multi(ans, a, mod);//不能直接乘 
        a = fast_multi(a, a, mod);
        ans %= mod;
        a %= mod;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    LL n, p;
    while (~scanf("%I64d %I64d", &n, &p))
    {
        if (n == 1)//特判一下 
        {
            printf("%I64d\n", 1 % p);
            continue;
        }
        printf("%I64d\n", (fast_pow(2, n, p) - 2 + p) % p);//这一步注意，不要为负数 
    }
    return 0;
}