NYOJ 860 又见01背包

这道题其实和一般的01背包没有什么区别，只是这道题目按照正常的思维去做不行了，因为容量太大，开个10^9的数组开不了，所以这时候就需要换种思维，这个题刚开始没理解，后来在网上在题解，发现都说是互换重量和价值，但是一直没理解什么意思，后来，仔细想了想那个最最基础的01背包是怎么推出来的才想通了， 也不能说是互换价值和重量，那样其实并不能加深理解，做完这个题之后，发现又对背包理解深了一点，写个博客，留下纪念

这道题很容易发现其实重量很大，达到10^9，但是价值很小啊，现在就来推一下这个所谓的“互换”是怎么来的 (其实我觉得还不如从最原始的来，不叫做“互换”好理解点), 最原始的那个式子

dp[i][j]表示当取 i 个， 重量为 j 的时候背包的最大价值，状态转移方程就是 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i-1][j - weight[i]] + value[i])， 这个式子的意思想必大家都明白吧，前面的那个意思是不取当前这个，后面的这个是取上当前这个物品， 后来再经空间优化之后变成了dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]), 仔细观察会发现二维数组时，那两种状态都是i - 1,所以就可以去掉，但是得注意，循环遍历的时候要逆序，正序的话就成完全背包了， 忘了说这个dp[j]表示什么了， dp[j]就是 当取到重量为j 的时候的最大价值。弄明白了这些。这时候就可以来看这个题了， 题目要求和普通的01背包一样，求能装的最大价值，普通方法就是直接找最大价值，现在要换种思维，找最小的重量， 因为同样价值，重量越小，那么最后能装的价值就可能越大，所以这个dp[i][j]就表示 当 取 i 个， 价值为j 的时候的最小重量，状态转移方程为 dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - value[i]] + weight[i]), 和那个最初推的一样，不再罗嗦，空间优化之后状态转移方程为dp[j] = min(dp[j], dp[j - value[i]] + weight[i]), 同样的意思，dp[j]表示 价值为j 的时候的最小重量，到最后只要从最大价值往下遍历这个dp数组，只要找到dp[j] <= 背包重量的时候就直接输出 j ， 这时候j就是最大的。

代码如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define Min(a,b) a<b?a:b

const int N = 10003;
int dp[N];
int weight[102];
int value[102];
int main()
{

    int n, w;
    while (scanf("%d %d", &n, &w) == 2)
    {
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            scanf("%d %d", &weight[i], &value[i]);
            sum += value[i];//sum保存所有的价值之和
        }
        memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));//初始化数组要为无穷大，因为是要找最小值，所以默认无穷大
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {

            for (int j = sum; j >= value[i]; j--)
                dp[j] = Min(dp[j], dp[j - value[i]] + weight[i]);
        }
        for (int i = sum; i >=0; i--)
            if (dp[i] <= w)
            {
                printf("%d\n", i);
                break;
            }
    }
    return 0;
}