快速幂取模

我们先从简单的例子入手：求a^b mod c = 几。

算法1.首先直接地来设计这个算法：

int ans = 1;

for(int i = 1;i<=b;i++)

{

ans = ans * a;

}

ans = ans % c;

这个算法的时间复杂度体现在for循环中，为O（b）.这个算法存在着明显的问题，如果a和b过大，很容易就会溢出。

那么，我们先来看看第一个改进方案：在讲这个方案之前，要先有这样一个公式：

a^b mod c = (a mod c)^b mod c

 

上面公式为下面公式的引理，即积的取余等于取余的积的取余。

证明了以上的公式以后，我们可以先让a关于c取余，这样可以大大减少a的大小，

于是不用思考的进行了改进：

int ans = 1;

a = a % c; //加上这一句

for(int i = 1;i<=b;i++)

{

ans = ans * a % c;

}

ans = ans % c;

这个算法在时间复杂度上没有改进，仍为O(b)，不过已经好很多的，但是在c过大的条件下，还是很有可能超时，所以，我们推出以下的快速幂算法。

快速幂算法依赖于以下明显的公式，我就不证明了。

 

有了上述两个公式后，我们可以得出以下的结论：

1.如果b是偶数，我们可以记k = a² mod c，那么求(k)^b/2 mod c就可以了。

2.如果b是奇数，我们也可以记k = a² mod c，那么求((k)^b/2 mod c × a ) mod c =((k)^b/2 mod c * a) mod c 就可以了。

nt ans = 1;

a = a % c;

if(b%2==1)

ans = (ans * a) mod c; //如果是奇数，要多求一步，可以提前算到ans中

k = (a*a) % c; //我们取a²而不是a

for(int i = 1;i<=b/2;i++)

{

ans = (ans * k) % c;

}

ans = ans % c;

 

我们可以看到，我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然，这样子治标不治本。但我们可以看到，当我们令k = (a * a) mod c时，状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为(k)^b/2 mod c而不是原来的a^b mod c，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然，对于奇数的情形会多出一项a mod c，所以为了完成迭代，当b是奇数时，我们通过

ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。

 

形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。于是便可以在O（log b）的时间内完成了。于是，有了最终的算法：快速幂算法。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　--------摘自百度文库

快速幂算法：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
/*朴素算法*/
/*表示a的b次幂然后对c取余的结果*/
int power1(int a, int b, int c)
{
    int res = 1;
    for (int i = 1; i <= b; i++)
        res = (res * a) % c;
    return res;
}
/*快速幂算法*/
int power2(int a, int b, int c)
{
    int res = 1;
    a %= c;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            res = (res * a) % c;
        a = (a * a) % c;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    int n;
    while (~scanf("%d", &n))
    {
        cout << power2(2, n, 9997) << endl;
        cout << power1(2, n, 9997) << endl;

    }
    return 0;
}