递归---NYOJ-90整数划分(一)

这个题理解了好大会才理解，看了网上的代码，不太理解，但是后来看了好几个人的， 大同小异吧，慢慢的就理解了。

思路：

递归函数的意思是， 将 n 划分为最大数为 m 的划分数， 可以分几种情况

1. 当n = 1 的时候， 这时候就是将1划分， 也就是递归的出口， 1 肯定只能划分为 1， 所以返回1

2. 当m = 1的时候， 最大的数为1， 所以只能全划分为1才行， 所以就一种，return 1;

3. 当n < m的时候， 一个数肯定不能划分为比他要大的数， 最大只能划分到它本身，所以只需要将m变成n就行了，所以func(n, n);

4. 当n > m 时，根据划分中是否包含最大值 m，可以分为两种情况：

               (a). 划分中包含 m 的情况，即 { m, { x1, x2, ..., xi } }, 其中 { x1, x2, ..., xi } 的和为 n - m，可能再次出现 m，因此是（n - m）的 m 划分，因此这种划分

                     个数为 f(n-m, m);

               (b). 划分中不包含 m 的情况，则划分中所有值都比 m 小，即 n 的 ( m - 1 ) 划分，个数为 f(n, m - 1);

              因此 f(n, m) = f(n - m, m) + f(n, m - 1);

5.  当 n = m 时，根据划分中是否包含 n，可以分为两种情况：

              (a). 划分中包含n的情况，只有一个即 { n }；

              (b). 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比 n 小，即 n 的所有 ( n - 1 ) 划分。

              因此 f(n, n) = 1 + f(n, n-1);

大体思路就是这样，不理解的话可以尝试着代入数据试试，理解理解大体概念，下面是代码的实现：

方法一(递归版)：

#include <stdio.h>


int func(int n, int m)//func(n, m) 是将 n 划分为最大数不超过m的划分  
{
    if(n == 1 || m == 1)
        return 1;
    if(n < m)//因为不可能将n划分成比n还大的数，所以，直接m = n就行了 
        return func(n, n);
    else if(n > m)/*当将n划分为比它小的数时，
    一个是继续往下再找一个，还有一个就是剩下的那个*/
        return func(n, m - 1) + func(n - m, m);
    else if(n == m)//n = m的时候， 也就是它的上一个的划分加上1 
        return 1 + func(n, m - 1);
}
int main()
{
    int m;
    scanf("%d", &m);
    for(int i = 0; i < m; i++)
    {
        int n;
        scanf("%d", &n);
        printf("%d\n", func(n, n));
    }
    return 0;
} 

 方法二(dp):

//dp
#include <stdio.h>

const int MAX = 11;

int main()
{
    int dp[MAX + 1][MAX + 1];
    for(int i = 1; i <= MAX; i++)
        dp[i][1] = dp[1][i] = 1;//初始化 
    for(int i = 2; i <= MAX; i++)
    {
        for(int j = 2; j <= MAX; j++)
        {
            if(i == j)
                dp[i][i] = dp[i][i - 1] + 1;
            else if(i < j)
                dp[i][j] = dp[i][i];
            else
                dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - j][j];
        }
    }    
    int m, t;
    scanf("%d", &m);
    for(int i = 0; i < m; i++)
    {
        scanf("%d", &t);
        printf("%d\n", dp[t][t]);
    }
    return 0;
}