【网络流】线性规划的最小割建模方式

前几天在师大附中听课，大概了解了一些关于网络流的建模方式，然后今天上午做了一些题目，在这里总结一下。

最小割的线性规划建模方式：

　　有一些0/1变量X_i，怎么怎么样之后会消耗某些代价或者获得某些利益，而最后的总收益可以写成如下的形式：

   　　　　　　 min{ Σmax{X_i-X_j,0}*W_i }

    其中Wi必须是正数。

     那么假设源为1，汇为0，就将Xi连一条流量为Wi的边到Xj。

    如果有形如1-Xi之类的形式就是从源向Xi连边，Xi-0这种形式就是Xi向汇点连边。

　　那么如果Wi是负数怎么办？

       比如Xi*Wi（Wi<0）

　　　　　　　　　　Xi*Wi=(-Xi)*(-Wi)=(1-Xi)*(-Wi)+Wi

　　这样就化成正数了，然后后面的Wi是一个常数，可以全部提到外面去。

　　比如我随便YY一个题目。。一堆棋子，其中把第I个变成白色有Wi的不和谐度，变成黑色有Bi的不和谐度，如果某个i和j颜色不一样就会有Ai,j的不和谐度，要求不和谐度最小。。

　　恩。。假设1是黑色，0是白色，那么线性规划出来就是

　　 min{Σmax{Xi,0}*Bi+Σmax{1-Xi,0}*Wi+Σmax{Xi-Xj,0}*Ai,j+Σmax{Xj-Xi,0}*Ai,j}

　　那么怎么连边就显而易见了啊。。按照上面的规则连就是了，1代表源，0代表汇。

呀好丑TAT

　　有时候会出现让你最大化收益的情况，其实是一样的，因为max{Ai}=-min{-Ai}

　　你在里面加个负号就行了，然后化一化就好。

　　如果有依赖怎么办？比如说要先选i才能选j

　　那么就加上 max{Xj-Xi，0}*INF就行。如果j是1，i是0的话就会有INF的代价。好口怕QAQ。

　　比如说最大闭权子图就可以这么做，按照公式推出来建边就行了，显然是正确的OwO。比如选第i件物品的代价是Wi（可正可负）

　　Ans=max{min{ΣXi*Wi}+Σmax{Xj-Xi,0}*INF}=-min{-Σ{Xi*Wi}-Σmax{Xj-Xi,0}*INF}

　　然后将Wi分正负进行处理，后面第二部分的那个减号就把Xj-Xi改成Xi-Xj就行了。

　　线性规划建模很无脑的。。只要初中数学及格就能建了。

　　总之网络流也就是建模要想一下（这不废话么摔(╯‵□′)╯︵┻━┻），跑最大流的话……随便吧，反正我是更喜欢ISAP。