ST表模板

RMQ问题：

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列a，回答若干询问RMQ（A,i,j）(i, j<=n)，返回数列a中下标在i，j之间的最小/大值。如果只有一次询问，那样只有一遍for就可以搞定，但是如果有许多次询问就无法在很快的时间处理出来。在这里介绍一个在线算法。所谓在线算法，是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。

ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

ST表模板题：洛谷P3865【模板】ST表：https://www.luogu.com.cn/problem/P3865

题目要求：给定一个静态区间，求出区间最大值。

首先，我们需要进行预处理操作，代码如下：

1 void Rmqint() {
2     for(int i = 1;i <= n;i++) 
3         st[i][0] = a[i];//从i开始长度为1的区间内最大值就为它本身 
4 5     //二重循环求出n个点中起点不同、不同区间中的元素最大值 
6     for(int j = 1;(1 << j) <= n;j++)//枚举不同区间大小，位运算1 << j表示2的j次方;我们需要保证区间大小小于数列长度 
7         for(int i = 1;i + (1 << j) - 1 <= n;i++)//枚举起点，i + (1 << j) - 1表示终点位置，终点位置不能超越数列末端 
8             st[i][j] = max(st[i][j - 1],st[i + (1 << j - 1)][j - 1]);//对两个小区间中最大值较大者即为大区间元素的最大值 
9 }

这里我们用一个二维数组st[i][j]来表示从i开始长度为2的j次方的区间中元素的最大值，因为起点为i,长度为2的0次方即1的区间内元素最大值就为他本身，所以我们先给st数组赋上初始值；

对于一个长度为2的j次方的区间，我们可以将其拆分为两个长度为2的j - 1次方的小区间：第一个小区间的起点为i，终点为i + 2的j - 1次方 - 1；第二个小区间的起点为i + 2的j - 1次方，终点为i + 2的j次方 - 1。这里用到了二进制拆分的思想。

如图所示：

其次，我们进行的是查询操作，代码如下：

1 int Query(int l,int r) {//l表示区间的左端点，r表示区间右端点 
2     int k = 0;
3     while((1 << k) <= r - l + 1){//找出小于等于区间长度的最大小区间长度 
4         k++;
5     }
6     k--;//while循环最后k多加了一次，需要减去1 
7     return max(st[l][k],st[r - (1 << k) + 1][k]); 
8 }

我们用一个整数k来枚举2的指数，通过上面while循环我们可以找出一个满足2的k次方小于等于区间长度的最大整数k，从而使得拆分出的两个小区间完全覆盖大区间，不会有遗漏的元素，有些元素重复考虑也没关系。

找出了最大整数k，我们即能将大区间拆分为两个小区间：第一个区间起点为L，终点为L + 2的k次方 - 1；第二个区间起点为r - 2的k次方 + 1,终点为r。

图解：

PS：两个区间可能有重叠部分，图画得不好

两个核心代码解决了，这道题也就迎刃而解了。完整代码如下：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define maxn 2 * 1000000
 4 int n,m,a[maxn],l[maxn],r[maxn],st[100000][64];//其实2的30次方就够了 
 5 void Rmqint() {
 6     for(int i = 1;i <= n;i++) {
 7         st[i][0] = a[i];//从i开始长度为1的区间内最小值就为它本身 
 8     }
 9     //二重循环求出n个点中起点不同、不同区间中的元素最大值 
10     for(int j = 1;(1 << j) <= n;j++)//枚举不同区间大小，位运算1 << j表示2的j次方;我们需要保证区间大小小于数列长度 
11         for(int i = 1;i + (1 << j) - 1 <= n;i++)//枚举起点，i + (1 << j) - 1表示终点位置，终点位置不能超越数列末端 
12             st[i][j] = max(st[i][j - 1],st[i + (1 << j - 1)][j - 1]);//对两个小区间中最大值较大者即为大区间元素的最大值 
13 }
14 int Query(int l,int r) {//l表示区间的左端点，r表示区间右端点 
15     int k = 0;
16     while((1 << k) <= r - l + 1){//找出小于等于区间长度的最大小区间长度 
17         k++;
18     }
19     k--;//while循环最后k多加了一次，需要减去1 
20     return max(st[l][k],st[r - (1 << k) + 1][k]); 
21 }
22 void Read() {
23     scanf("%d%d",&n,&m);
24     for(int i = 1;i <= n;i++) {
25         scanf("%d",&a[i]);
26     }
27     for(int i = 1;i <= m;i++) {
28         scanf("%d%d",&l[i],&r[i]);
29     }
30 }
31 int main() {
32     Read();
33     Rmqint();
34     for(int i = 1;i <= m;i++) {
35         printf("%d\n",Query(l[i],r[i]));
36     }
37     return 0;
38 }