AcWing 4081. 选数

选数

题意

给定 \(n\) 个整数 \(a_1, a_2, \ldots a_n\) 。

请你从中选去 恰好 \(k\) 个数字，要求选出来的数字的乘积的末尾的 \(0\) 尽可能多。

请输出末尾 \(0\) 的最大可能数量。

\(1 \le n \le 200, 1 \le k \le n, 1 \le a_i \le 10^{18}\) 。

分析

对于所有的质因数，只有 \(2 \times 5\) 才会产生末尾 \(0\) 。

选择 \(k\) 个数字，假设乘积有 \(a\) 个 \(2\) ，\(b\) 个 \(5\) 。那么产生的末尾 \(0\) 一共 \(min(a, b)\) 个。

所以要求 \(min(a, b)\) 的最大值。

设 \(f(i, j, k)\) 表示前 \(i\) 个数字，选择 \(j\) 个数字，并且 \(5\) 的个数为 \(k\) 时，\(2\) 的最大数量。

转移方程：\(f(i, j, k) = max(f(i, j, k), f(i-1, j-1, k-c_5) + c_2)\) 。

其中 \(c_5\) 表示第 \(i\) 位 \(5\) 的数量，\(c_2\) 表示第 \(i\) 位 \(2\) 的数量。

看作二维的 \(01\) 背包问题，\(c_5\) 为体积， \(c_2\) 为价值。

由于只用到了前一层，可以把第一维压掉。

Code

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 210;

int f[N][30 * N + 10];

signed main ()
{
    int n, k; cin >> n >> k;
    memset(f, -0x3f, sizeof f);
    f[0][0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        long long x; cin >> x;
        int c2 = 0, c5 = 0;
        while(x % 2 == 0) { ++ c2; x /= 2; }
        while(x % 5 == 0) { ++ c5; x /= 5; }
        // 体积为c5，价值为c2
        for (int j = k; j >= 1; j -- ) // 选j个数字
            for (int r = j * 25; r >= c5; r -- )
                f[j][r] = max(f[j][r], f[j-1][r - c5] + c2);
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i <= 25 * N; i ++ ) ans = max(ans, min(i, f[k][i]));
    cout << ans << endl;
    return 0;
}