CF 991E. Bus Number

Bus Number

题意

给定数字 \(n\) ，求有多少个数字 \(x\) 满足：

1. \(n\) 的所有元素都在 \(x\) 中出现过。
2. \(x\) 的所有元素都在 \(n\) 中出现过。
3. \(x\) 不含前导零。

举例：\(n\) 为2028，那么 \(x\) 可以为 \(208,820, 2820\) 等。

其中 \(1 \le n \le 10^{18}\)

分析

dfs计数。假设可以含有前导零，那么变成可重组合排列问题，假设选出来的数字有 \(sum\) 个，每个数字出现了 \(tmp[i]\) 次，那么方案数一共是 \(\dfrac{sum!} {\sum^{9}_{i=0}tmp[i]!}\) 。

再考虑含有前导零的情况，如果选出来的数字含有0，那么把一个0放在开头，计算出有前导零的方案数，相减即为这个组合没有前导零的方案数量。

Code

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

long long fac[20];
int cnt[10], tmp[10]; // count记录原序列每个数字的次数，tmp记录每次可能的答案的数字的次数
long long ret;

void dfs (int cur)
{
    if (cur == 10) // 已经搜索完前面9个数字
    {
        // 先考虑可以有前导零的情况
        int len = 0; // 搜索到的答案的位数
        for (int i = 0; i < 10; i ++ ) len += tmp[i];
        long long p = fac[len];
        for (int i = 0; i < 10; i ++ ) p /= fac[tmp[i]]; // 计算方案数
        // 考虑前导零，计算出有前导零的情况，相减
        if (tmp[0]) p -= (p * tmp[0] / len);
        ret += p; return ;
    }
    // 枚举当前数字的数量
    for (int i = 1; i <= cnt[cur]; i ++ )
    {
        tmp[cur] = i; dfs(cur + 1);
    }
    // 如果当前数字没有，还需要取搜索下一个数字
    if (!cnt[cur]) dfs(cur+1);
}

int main ()
{
    fac[0] = 1; for (int i = 1; i < 20; i ++ ) fac[i] = fac[i-1] * i;
    string s; cin >> s;
    for (int i = 0; i < s.size(); i ++ ) ++ cnt[s[i] - '0'];
    dfs(0); // 从0元素开始搜索
    cout << ret << endl;
    return 0;
}